確率密度を求める問題(基本的・・・)
- 確率変数Xの密度関数が、f(x)={3x^2,(0<x<1) 0,(その他)} であるとき、Y=1-X^2の密度関数を求めよ。離散型に置き換えて考えた結果と実際の答えを知りたい。
- 確率変数Xの密度関数が、f(x)={3x^2,(0<x<1) 0,(その他)} であるとき、Y=1-X^2の密度関数を求める方法を教えてください。
- 確率変数Xの密度関数が、f(x)={3x^2,(0<x<1) 0,(その他)} であるとき、Y=1-X^2の密度関数を求めるための考え方と具体的な計算方法を教えてください。
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確率密度を求める問題(基本的・・・)
確率の勉強を始めたばかりで、基本的なことがわかってません。 確率変数Xの密度関数が、f(x)={3x^2,(0<x<1) 0,(その他)} であるとき、Y=1-X^2の密度関数を求めよ という問題を出されたのですが、イメージが湧かないので離散型に置きかえて 自分なりに考えてみました。以下の考え方でいいのでしょうか。それともピントが ずれてるのでしょうか。また、実際の答えはどうなるのでしょうか? f(x)dxは、各階級における発生確率を求める関数なので、離散型っぽく 書くと下のようになる。そして、Yは、1-X^2であるから、Xが一様に起こる 確率変数だとしたら3列目のようになるが、実際はXの発生確率はf(x)dxで あるから、1-X^2で求まる値にf(x)dxを乗じなくてはならない。 これを最後に、全体が100%として補正した値が1-X^2の確率密度(的)となる。 X f(x)dx Y=1-X^2 f(x)dx*Y p 0 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 0.1 0.3% 99.0% 0.3% 0.8% 0.2 1.2% 96.0% 1.2% 2.9% 0.3 2.7% 91.0% 2.5% 6.2% 0.4 4.8% 84.0% 4.0% 10.2% 0.5 7.5% 75.0% 5.6% 14.2% 0.6 10.8% 64.0% 6.9% 17.5% 0.7 14.7% 51.0% 7.5% 19.0% 0.8 19.2% 19.0% 4.6% 11.7% 1 30.0% 0.0% 0.0% 0.0%
- monsom
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質問者が選んだベストアンサー
#1です。 質問者さんが「お礼」に書かれた計算方法は、完全に合っています。 間違いの原因は、私が実際に計算を行わず、アイディアだけお示しした点にあります。どうもすみません。 当然、f(x)、F(y) は、負にならない関数です。ところが、本問の場合、x と y は、互いに単調減少ですから、dx とdy は、常に符号が逆になります。それゆえ |F(y)dy|=|f(x)dx|、あるいは F(y)dy = -f(x)dx と書くべきでした。 なお、確率密度関数を求める問題の場合、もしできれば、最後に定積分を計算して、面積が1になることを確かめておきましょう。
その他の回答 (1)
- Ishiwara
- ベストアンサー率24% (462/1914)
連続分布を離散型に置き換えて考えることは、話をかえってややこしくします。あくまで、連続分布の中で考えるべきです。 y の確率密度関数を F とすれば、dx という微小区間の生起確率 fdx は、dy という微小区間の生起確率 Fdy と等しいはずです。 したがって、Fdy = fdx を解いて(つまり x を消去して)F を求めれば、答が出るはずです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 Ishiwaraさんのご回答を受けて自分なりに考えてみましたが、どうもよくわかっていないようです。。。 >Fdy = fdxを解いて(つまりxを消去して)Fを求めれば、答が出るはずです Fdy = fdx F・dy/dx = f ・・・A ここで y = 1-x^2 x = √1-y (0<x<1) ・・・B dy/dx = -2x=-2√1-y ・・・C(Bを代入) B,CをA式に代入して F・-2√1-y = f(√1-y) F = 1/-2√1-y・f(√1-y) = 1/-2√1-y・3(√1-y)^2 F = -3/2(1-y)^1/2 となり、密度関数がマイナスとなってしまいます。 どこかが間違ってるのでしょうが、何がいけないのでしょうか? すみませんが教えていただければと思います。どうぞよろしくお願いいたします。
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