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数列・極限と積分・・・？
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No.3です >a_n、b_n＞０、a_n～b_nとはa_n/b_n→１とする。（n→∞） 質問とはまったく意味合いが違いますね． 先生は間違ってなくて間違っているのはyoshiai23さんです． 先生のいってるのは >lim[n→∞]Σ[k=1～n]1/kがlog(n)になること でなくて lim[n→∞](Σ[k=1～n]1/k)/log(n) = 1 であることです． これの証明は区分求積を使えばすぐです． ちなみに，こういう不等式式になります． log(n+1)/log(n) < (Σ[k=1～n]1/k)/log(n) < 1+ 1/log(n) logは単調増加で無限大に発散なので， 1<log(n+1)/log(n) となることとあわせて はさみうちでおわり ちなみに >０ ＜ Σ[k ; from １ to n] 1/k －ｌｏｇｎ ＜ １ が示せても意味はありません． ＃振動する可能性が除去できません．
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- Suue
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これは、ｌｏｇｎに収束するのではなく、ｎが大きいとｌｏｇｎに近似できるという意味です。すでに書かれていますが、 lim[n→∞]Σ[k ; from １ to n] 1/k は収束せず、正の無限大に発散します。 これがｌｏｇｎに近似できることの証明は、区分求積を使ってください。そうすれば、 ０ ＜ Σ[k ; from １ to n] 1/k －ｌｏｇｎ ＜ １ となることが示せるはずです。 また、こちらもすでに書かれていますが、上記の不等式の中項は、ｎ→∞で収束し、オイラーの定数と呼ばれています。これはガンマ関数の無限積表示などに登場します。
お礼
Σ[k ; from １ to n] 1/k －ｌｏｇｎ が何かの値に近似すれば（１？）証明できるのですねっ！ ありがとうごさいました。
- Newton__
- ベストアンサー率0% (0/1)
再びすみません。 ANo.2で、回答したものですが、 やはり皆さんのおっしゃる通り、解けませんね。 早とちりでした。 申し訳ありませんm(__)m
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
>がlognになることを証明する問題が分かりません。 log(n)には収束しません． 無限大に発散しますし，簡単に証明できます． lim[n→∞](Σ[k=1～n]1/k - log(n)) ならば収束します 収束値はγとかかれEuler定数と呼ばれます． まだ無理数かどうかすら不明の数です．
お礼
log(n)になると教授が言ってたのですが・・・教授が間違っている可能性があるかもしれませんね・・・ a_n、b_n＞０、a_n～b_nとはa_n/b_n→１とする。（n→∞） このとき、Σ（k=1～n)k＝(1/2)n(n＋1)～n^2/2 Σ[k=1～n]k^2＝(1/6)n(n＋1)(2n＋1)～n^3/3 Σ[k=1～n]k^3＝{(1/2)n(n＋1)}^2～n^4/3 Σ[k=1～n]k^α（α＞-1）～n^(α＋1)/α＋1 とそれぞれ変形できるとき （今回の問題） Σ[k=1～n]1/k～log(n) これを証明せよ。 問題が分かりにくくかった人もいたのかもしれません。申し訳なかったです。
- Newton__
- ベストアンサー率0% (0/1)
区分求積を使えば解けると思います。 間違っていたら、すみません。 高校の数学IIIで習うと思います。
- endlessriver
- ベストアンサー率31% (218/696)
少し違います。オイラーの定数で解析や微積分の教科書を調べるとよいです。
お礼
何が「少し違う」のでしょうか？ 問題が違うのでしょうか？
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