数学III

質問

ｙ＝log(e＾ｘ+ｅ＾(-x))のグラフの書けという問題で必ずｘ軸との交点を求めますよね。
この問題はどうやってｘ軸との交点(ｙ’＝０)を求めるのですか。ぜんぜん分からないので出来るだけ簡単に説明してください。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

>ｙ＝log(e＾ｘ+ｅ＾(-x))
=f(x)とおくと
f(-x)=f(x)から遇関数でy軸対象
x≧0でグラフを考えx＜0側はY軸に対象に描けばいいですね。
y'=（e＾ｘ－ｅ＾(-x))／（e＾ｘ+ｅ＾(-x))=tanh(x)
y"=sech^2(x)＞0
x=0でy'=0,x＞0でy'＞0で増加関数、y"＞0で下に凸であることから
x=0で最小値y=log 2（＞0）となりx軸との交点はないです。
Y軸との交点が(0,log 2)です。

f(x)＝y-x＝log(e^x+e^(-x))-xとおくと
f(x)＝log((e^x+e^(-x))/e^x)＝log(1+e^(-2x))
f'(x)=y'-1=tanh(x)-1＜0
f(x)は減少関数でf(x)→log 1＝0
で問題のyはy＝xが漸近線になります。（Y軸対象のためy=-xもx<0の方の漸近線）

＞ｘ軸との交点(ｙ’＝０)を求めるのですか。
y'の分子＝e＾ｘ－ｅ＾(-x)＝(e^(2x)-1)/e^x＝0から
e^(2x)＝1＝e^0
x＝0
と出ます。

回答No.3

banakona

ｙ＝log(e＾ｘ+ｅ＾(-x))の微分はできますよね。
ｙ’＝（１／（e＾ｘ+ｅ＾(-x))）・（e＾ｘ－ｅ＾(-x))
分子はe＾ｘ－ｅ＾(-x) なので e＾ｘ－ｅ＾(-x)＝０とおけば　e＾ｘ＝ｅ＾(-x)
ｅ＾(-x)＝１／e＾ｘ なので e＾(2ｘ)＝１　∴e＾ｘ＝１　（∵e＾ｘ＞０）
∴ｘ＝０

回答No.2

Mr_Holland

簡単に説明しますと、
　　ｙ’＝{e^x-e^(-x)}/{e^x+x^(-x)}＝tanh(x)
　　ｙ''＝1/{cosh(x)}^2 ＞０　　⇒　常に、下に凸

　ｙ’＝０となるのは、tanh(x)=0　∴x=0 (y=log(2) )

　あとは、ｘ→±∞でｙは簡単な関数に記述できて、
　　lim ｙ　＝log{e^(±x)}＝±ｘ　（複号同順)
　　x→±∞
となりますので、x→±∞で、直線ｙ＝±ｘに漸近。

　以上をまとめると
　　点(0,log(2))で最小になり、常に下に凸、またx→±∞で、直線ｙ＝±ｘに漸近するグラフということになります。
　　さらに、付け加えれば、ｙはｘの偶関数なので、ｙ軸に対して対称です。

回答No.1

koko_u_

>必ずｘ軸との交点を求めますよね。
e^x + e^(-x) >= 2 なので、x 軸との交点はありません

>どうやってｘ軸との交点(ｙ’＝０)を求めるのですか
導関数の x 軸との交点は方程式を解くだけ

この問題の場合は x -> ∞、x -> -∞ の漸近的挙動も必要だろう