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不等式について

「C=1/2(PQ+1)があり、 PQ/2－(PQ－2)/2P^n>C－1=(PQ－1)/2,・・・(1) P^(n－1)>=Qを満たすとき(1)となる。」 という文章で P^(n－1)>=Qという条件は(1)を解いたときにでる結果なのでしょうか？？そして、(1)を解いても P^(n－1)>=Qになりません＞＜ 解けますか＞＜アドバイスください＞＜

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回答No.1

確かに、(1) を解いても P^(n-1) ≧ Q にはなりませんね。 おそらく P>0 という条件があると思いますので、その前提で回答します。 実際に解いてみると、 PQ/2 - (PQ - 2)/(2P^n) > (PQ - 1)/2 …(1) - (PQ - 2)/(2P^n) > - 1/2 (PQ - 2)/(2P^n) < 1/2 PQ - 2 < P^n Q - 2/P < P^(n-1) Q < P^(n-1) + 2/P …(2) となり、解いた結果は P^(n-1) ≧ Q にはなりません。 つまり、「(1) ならば P^(n-1) ≧ Q」は一般には成り立ちません。 ただ、逆の「P^(n-1) ≧ Q ならば (1)」は成り立ちます。 P^(n-1) ≧ Q ならば、Q ≦ P^(n-1) であり、 2/P > 0 ですから、(2) が成り立ちます。 そして、(2) が成り立つならば、上記の逆順の変形により、(1) が成り立ちます。 というわけで、 「P^(n-1) ≧ Q」は (1) を解いたときにでる結果ではない しかし、「P^(n-1) ≧ Q を満たすとき (1) となる」は正しい ということになります。

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