数Bベクトル、平面の方程式の…証明？

質問

x,y,z軸との交点がa,b,cである平面の式は
x/a+y/b+z/c=1
である。

とあったので、これを自分で確かめてみようと思い、
次のように考えました。

x,y,z軸との交点がa,b,cである平面の式
→x,y軸との交点がa,bである直線の式と
y,z軸との交点がb,cである直線の式と
z,x軸との交点がc,aである直線の式とを
同時に満たす式？

ここまでで考え方が間違っているのですか？

このあと、次のように考えました。

それぞれ、式は順に
x/a+y/b=1
y/b+z/c=1
z/c+x/a=1

ここで間違っているのでしょうか

全部を足すと
2(x/a+y/b+z/c)=3
∴x/a+y/b+z/c=3/2≠1

どこで間違っているのでしょうか、
よろしく御願いしますorz

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

x-y-z 空間で 「x,y軸との交点がa,bである直線の式」は

x/a + y/b = 1 かつ z = 0

です。以下同様。

x/a + y/b = 1 は「x, y 軸との交点が a, b で、z 軸と並行な『平面』」です。

また、直線や平面を表現する方程式は「方程式を満たす点(x, y, z)の集合」を短縮して書いているだけなので、方程式を足し算して得られた式は

「元の３式(x/a+y/b=1、y/b+z/c=1、z/c+x/a=1)を同時に満たす点(x, y, z) が満足する関係の一つ」

でしかなく、その逆「得られた方程式(x/a+y/b+z/c=3/2)が満たす点が、３式(x/a+y/b=1、y/b+z/c=1、z/c+x/a=1)を満足する」は言えません。

最初の平面の方程式が３直線を含む(x/a + y/b = 1 かつ z = 0 を満たす点(x, y, z) は求める平面上の点)は間違いではありませんが、そこから平面の方程式を計算で求めるのは難しそうです。

確かめるだけであれば、(a, 0, 0) などが、x/a + y/b + z/c = 1 を満たすことを確かめて、直線上にない 3点を通る平面がただ一つであることを考えればよいでしょう。

お礼

ありがとうございます。
なるほど、理解できました！
代入して成り立つことはわかるのですが、
式変形などで導き出すことはできないのでしょうか

回答No.3

banakona

＞式変形などで導き出すことはできないのでしょうか
疑問に答えていないかもしれないけれど・・・

x,y,z軸との交点をＡ，Ｂ，Ｃとします。また、
＞x/a+y/b=1
等とあるのでａ、ｂ、ｃ≠０とします。
直線ＡＢは　（x,y,z）＝OA→＋ｓAB→＝（a,0,0）＋ｓ（-a,b,0）
直線ＡＣは　（x,y,z）＝OA→＋ｔAC→＝（a,0,0）＋ｔ（-a,0,c）
なので求める平面OA→＋ｓAB→＋ｔAC→を成分で表すと
ｘ＝ａ－ａｓ－ｔａ・・・(1)
ｙ＝ｂｓ　　　　　・・・(2)
ｚ＝ｔｃ　　　　　・・・(3)
(2)からｓ＝ｙ／ｂ
(3)からｔ＝ｚ／ｃ
(1)に代入してｘ＝ａ－ａ（ｙ／ｂ）－（ｚ／ｃ）ａ
全体をａで割って整理するとx/a+y/b+z/c=1

回答No.2

Mr_Holland

３つの切片座標A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)から、直接、平面の方程式を求める方法です。

　点(x0,y0,z0)を通る平面の方程式は、
　　l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-z0)=0　（l,m,nは定数。同時に０にはならない。）
ですから、この平面は、点Aが通るので、(x0,y0,z0)＝(a,0,0)とすると、次のようになります。
　　l(x-a)+my+nz＝0　　　・・・・・（A)
　次に、この平面は、点B,Cを通るので、この座標を代入して、
　　l(0-a)+mb+n0＝0　　⇒ -la+mb＝0　∴m＝la/b　・・・・（B)
　　l(0-a)+m0+nc＝0　　⇒ -la+nc＝0　∴n＝la/c　・・・・（C)
を得ます。
　式(B),(C)を式(A)に代入すると、
　　l(x-a)+lay/b+laz/c＝0
　　x/a-1+y/b+z/c＝０　　　　（la≠０。∵l=0のとき、m=n=0）
　∴x/a+y/b+z/c＝１
を得ます。

　このように、切片座標が変わっていれば、空間でも平面でもそれより１次元低いものの方程式（空間なら平面、平面なら直線)が簡単に得られます。