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複素関数の連続性
f(z)=(zのバー)の連続性を証明するとき、 z=x+iyとおいて、(zのバー)の実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続であるから、f(z)=(zのバー)は連続であるとしてもよいのですか? εーδ法というのがあるようなのですが、授業では扱っていないため、上のような方法で解きたいのですが、どのように書いていけばいいのかわかりません。
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- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続である >⇒その関数は複素平面上で連続とはいえないのですか? 疑問点を数学的に定式化すると見通しがよくなるかも。 写像 f(z) : C -> C について、実部、虚部がそれぞれ連続とは、 実数への射影 Re : C -> R ( a + bi -> a )、 虚数への射影 Im : C -> R ( a + bi -> b ) 各々について、 写像の合成 Re(f(z)) : C -> R、 Im(f(z)) : C -> R を考えているのですね。これが「複素平面 C 上で連続」であれば f(z) = Re(f(z)) + i * Im(f(z)) なので、f(z) も連続です。(和や積が連続だから) しかし、p : R -> C ( a -> a + i*0), q : R -> C ( b -> 0 + bi) をもって、 Re(f(p(x)) : R -> R Re(f(q(y)) : R -> R Im(f(p(x)) : R -> R Im(f(q(y)) : R -> R の連続性を仮定したとして、これから f(z) : C -> C の連続性を示すのは一般には無理そうです。 f が加法的( f(z1+z2) = f(z1)+f(z2) )であれば、z = p(Re(z)) + q(Im(z)) だから f(z) = f(p(Re(z))) + f(q(Im(z)) だから連続ですね。 反例求む>誰か
- zk43
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一般に複素関数f(z)=Ref(z)+i*Imf(z)について、 |f(z)-f(z0)|=|Ref(z)-Ref(z0)+i(Imf(z)-Imf(z0))| ≦|Ref(z)-Ref(z0)|+|Imf(z)-Imf(z0)| から、z→z0のとき、|Ref(z)-Ref(z0)|→0かつ|Imf(z)-Imf(z0)|→0 ならば、|f(z)-f(z0)|→0 f(z)=zの共役、として考えてみれば良いと思います。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
|f(z) - f(w)| = |\bar{z} - \bar{w}| = |\bar{z - w}| = |z - w| より明らか(\bar{} は上付きバーのことね)
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
> z=x+iyとおいて、(zのバー)の実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続であるから、f(z)=(zのバー)は連続であるとしてもよいのですか? だめです.fの定義域が複素平面全体なのだから 複素平面全体で連続であることを示さなければいけません. ・・・ところで,大学生ですか?高校生ですか? 複素関数の連続性なんてやってるんなら大学生だと思いますが 大学生で「授業で扱ってない」から「できない」なんていうのは 駄目駄目ですよ.
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補足
授業で扱った形式で解いてみようという意図なので… 実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続である⇒その関数は複素平面上で連続とはいえないのですか?