二項定理がよくわかりません

質問

二項定理の問題がよく分かりません。
どなたかご指導お願いします。

１、二項係数について、次の訪問に答えよ。

(1)6Ｃ0+6Ｃ1+6Ｃ2+6Ｃ3+6Ｃ4+6Ｃ5+6Ｃ6

(2)nＣ0+nＣ1+nＣ2+…+nＣr+…+ｎＣｎ-1+ｎＣｎ＝2のｎ乗が成り立つことを証明しなさい。

(3)8-1Ｃ5-1+8-1Ｃ5=8Ｃ5 が成り立つことを証明し、この式の意味を具体的に考えなさい。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(1)
(x+1)^6=6Ｃ0*x^6+6Ｃ1*x^5+6Ｃ2*x^4+6Ｃ3*x^3+6Ｃ4*x^2+6Ｃ5*x+6Ｃ6
この展開式でx=1とおけば左辺が求める値2^6＝64になります。

(2)
(x+1)^n
の展開式でx=1とおけば証明できますよ。

(3)
nＣr=n!/{(n-r)!*r!}なる定義式に基づいて左辺を計算すれば右辺になりますよ。
定義に基づいて8Ｃ5の意味は8個の中から5個取り出す組み合わせ数だと考えて見てください。左辺は1個目を取り出した後、4個と5個取り出す組み合わせ数の合計です。実際に自分で取り出す過程を想定してご自分でよく考えてみてください。

自分の解答を示さないで丸投げすると削除対象になりますよ（マナー違反）。他人の質問を参考に質問の仕方に注意して下さい。

お礼

回答ありがとうございました。
とても参考になりました。
マナー違反すいませんでした。
他の人の質問のようにこれからは自分で推測して投稿します。ご親切にありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

二項係数が、次のように、(x+y)^nを展開したときの係数になっていることはいいですか？
　　(x+y)^n=[r=0→n]ΣnCr・x^(n-r)・y^r　　・・・（A)

(1)　式（A)で、ｘ＝ｙ＝１、ｎ＝６としてみてください。
　　右辺が求めたい式と同じになることが分かるはずです。
　　あとは、左辺の(1+1)^6を求めるだけです。

(2)　同じように、式(A)で、ｘ＝ｙ＝１としてみてください。
　　右辺が求めたい式と同じになりますので、あとは左辺の(1+1)^nを整理すれば証明できます。

(3)　問題は、(8-1)C(5-1) + (8-1)C5 = 8C5　を証明しなさい、ということでしょうか。
　実際に、nCr=n!/{(n-r)!n!}に入れてみて計算してみれば分かるはずですが、問題を一般化して、
　　(n-1)C(r-1) + (n-1)Cr =nCr　　・・・・（B)
としても証明ができます。
　　式（B)の左辺
　＝(n-1)!/{(n-r)!(r-1)!}+(n-1)!/{(n-r-1)!r!}
　＝(n-1)!{r+(n-r)}/{(n-r)!r!}
　＝n!/{(n-r)!r!}　＝式（B)の右辺

　式（B)の関係は、パスカルの三角形と密接な関わりがありますので、それを調べてみてください。それで式の意味が分かると思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2

お礼

回答ありがとうございました。
とても参考になりました。

リンク先をよく見て考えてみます。