最大公約数の問題

質問

公約数と公倍数、という単元の問題なのですが

問2-3が「次の最大公約数を求めよ」というもので

（39,18,8）

などの問題が出されており、それに続く問題として

問2-4
自然数 a,b,c　に対して

((a,b),c)=(a,(b,c))

が成り立つことを示せ。

というものがあります。

最大公約数を使って解く問題だとは予想できるのですが、どのようにすれば証明できるのかが分かりません。

その前の問題では、ユークリッドの互除法を用いて最大公約数を求めていました。

どなたか分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授願います。

回答No.2

atushi256

((a,b),c) = m
(a,(b,c)) = n
とします。

最大公約数の定義から、(a,b)もcもmで割り切れます。
また、dを自然数として(a,b)=mdと表されるので、a,bはmdで割り切れます。
もっといえば、a,bはmでも割り切れます。
同様の議論を(a,(b,c))=nにも当てはめれば、a,b,cはnで割り切れます。

a,ｂ,ｃはmで割り切れます。
ですから、最大公約数の定義より、m <= (a,(b,c)) = nです。
同様に、a,ｂ,ｃはnでも割り切れますから、
n <= ((a,b),c) = m

以上より、m=nとなります。

回答No.1

koko_u_

>最大公約数を使って解く問題だとは予想できるのですが
予想？どんな？

バイトで家庭教師をしている時によく言いました。「principle と practice を区別しろ」と。
つまりユークリッドの互除法は practice やり方さえ知っていれば誰でもできる。後半の問題は principle を使って考えましょう。つまり最大公約数の定義とその性質は？

ちなみに後半の性質があるので、前半の問題文にある最大公約数 (39, 18, 8) は一意に値が決まることに注意しましょう。