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微分方程式 定常解について・・・
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問２ １） dx/dt=x^3-3x2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-2)(x-1) となるので、 dx/[x(x-2)(x-1)]=dt [1/(2x) +1/(2(x-2))- 1/(x-1)]dx=dt log(2x)+log(2(x-2))-log(x-1)=t+A t=log( 4x(x-2)/(x-1))-A 2) x(x-2)/(x-1)=1/4*exp(t+A) 定常解とはtが変化するときxが変化しないようなxの値。 つまり初期条件としてあたえられたxが微分方程式に代入したときに、微分値が０となってしまうような点である。 この場合はもちろん、x=0,1,2の時が定常解となり このxは全てのtで微分方程式を満たす。 以上で定常解を導き出した。 今度は局所安定性に関して。 たとえば、初期条件が定常解に近いとして、x=c（cは十分小さい） としてやると、 f(x)=x(x-2)/(x-1)=exp(t)f(c) を全てのtにおいて満たすことになる。 よって、 exp(-t)=f(c)(x-1)/x/(x-2) さて、tが無限大に近づくと、左辺は０となるので、右辺も０に近づくので、x＝１に近づく。 このことから、x=0,x=2の付近では近傍の定常解に近づかないので 不安定だが、 x=1近傍では安定で、定常解x=1に近づく事が出来る。
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