和積・積和の公式の導き方

質問

和積・積和の公式の導き方を教えてください。加法定理でやるらしいですが自力では出来ませんでした。

またこれらは覚える必要はあるのでしょうか。ほかの2倍角の公式などは、、学校の先生は「覚える必要はない」といっていましたが、数学の得意な人は「奇麗事を言わないで覚えた」といっていたので、受験という点も考慮して僕は導き出せますが、丸暗記しました。

しかし和積・積和の公式は苦痛なので、どうしようか迷っています。導き出すのもそんな長い手順ではなかったような気がするのでこれは導き出そうと以前までは思っていました。しかし特に数学が得意でない僕にとっては規則性に着目して暗記してしまったほうが早い気がします。どうなのでしょうか。

以上をよろしくお願いします。

回答No.5

imopro · ベストアンサー

別に丸暗記してもいいですけど，符号ミスをする事もありますから，「+と-どっちだっけ？」となった時に自分で確認できるようにならないとまずいと思います．その意味で自力で導出できる事は必須です．
2倍角，3倍角の公式程度なら間違えにくいので暗記しましたけど（というよりも，数多く計算をこなしていると自然に覚えちゃいますよ），勿論自力で導出できるようにしてました．．

例えば，sin同士の和積の場合，以下のようにやっています．
まず，
　sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny …(1)
　sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny …(2)

とsinの式を2つ用意します．角度の部分は(x+y)と(x-y)の組です．
もし，sin○+sin△と和の形式の場合は(1)+(2)を（(3)），sin○-sin△という差の形式の場合は(1)-(2)をしてあげればいいです（(4)）．

　sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy …(3)
　sin(x+y)-sin(x-y)=2cosxsiny …(4)

ここで，x+y=A,x-y=Bとでもおいてあげると，(3)(4)はそれぞれ(3')(4')と書き換えられます．

　sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2) …(3')
　sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) …(4')

x=(A+B)/2,y=(A-B)/2となるのは，一度計算して確認したら，あとは覚えてもいいかも（笑）．

具体的に例えばsin4θ+sin2θを積の形に変換したいのなら，A=4θ，B=2θとしてあげると，x=3θ,y=θなので，sin4θ+sin2θ=2sin3θcosθとなります．

積和にしてもほぼ同じです．一から計算しても30秒もかからない程度だと思うので，丸暗記よりはこちらの方がいいと思います．

回答No.4

kabaokaba

あんまり参考にはならないですが，
私は和積も積和も覚えてません．
ついでにいうと余角とか補角の式も覚えてません

一応，和積の語呂合わせには
サイタ・サイタ・サクノハ・コスモス
サカナイ・サカナイ・コスモス・サカナイ
コスモス・コスモス・ミンナ・コスモス
サカナイ・コスモス・ミンナ・サカナイ
なんてものがありますが，
私の場合，この語呂合わせから脳内変換で公式を出すよりも
計算した方が速いという(^^;;

結局「加法定理」を足し算引き算するだけです．
sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)
たせば，
sin(x+y)+sin(x-y) = 2 sin(x)cos(y)
ですから，公式の形にするのは自明でしょう．
要は，sin，cosの組合せと2倍か1/2倍が混乱するだけですので
ここまで導出できれば，毎回「証明」することはないわけです．
必要になるときには，必要とされる形があるので
それに合わせて加法定理を足すか引くかすればいいという考え方です．

ところが，実は，加法定理もあんまり真剣には覚えませんでした．
e^{i(x+y)} を経由すれば単なる展開公式ですので．
もっともあまりに頻繁に計算したので
そのうち覚えちゃいましたけど．

倍角・三倍角は今もほとんど覚えてません．
e^{i2x}とかで計算可能ですので．
で・・・実はさらに展開公式もほとんど覚えてません
中学校程度のは覚えてますが，
それ以外は，組合せとパスカルの三角形です．

回答No.3

Kules

導き出すのは簡単です。覚えないでそのたび導出している難関校の生徒も何人も見たことがあります。
ただ、覚えた方が早い気はします。
和積・積和のいずれか片方だけを覚えます。私の場合は和積を覚えています。
P(A)±Q(B)=2R((A+B)/2)S((A-B)/2)
P,Q,R,Sはsin,cosのいずれかが入ります。P=cosの時P(A)=cosAということです。
あとはP,Q,R,Sの組み合わせを覚えるだけです。
sin+sin=sincos
sin-sin=cossin
cos+cos=coscos
cos-cos=-sinsin
という感じで。積和も同様に
R(a)S(b)={P(a+b)±Q(a-b)}/2
の形をまず覚え、組み合わせは和積の逆なのでその考え方で決めます。
こうすることで覚える量はそこそこ少なくなります。

回答No.2

oobdoo

あまり覚える必要はないと思います。とりあえず、証明は分かっているとして、加法定理は一瞬で出てきますか？そうであれば以下の方法が素早く導けるのではないかと思います（私がやっていた方法です）。

直ぐに導けるようにしておくのは、
sin(a+b)+sin(a-b)
sin(a+b)-sin(a-b)
cos(a+b)+cos(a-b)
cos(a+b)-cos(a-b)
の4式です。何れも加法定理の式を思い浮かべて、4項のうち2項は同一で、残り2項はキャンセルされることに注意すれば直ぐ出ますね。(例えば、
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
だから足すと2sinacosb、というように)
そうすれば、積和はその結果を2で割れば出ますし、和積は
a=((a+b)+(a-b))/2, b=((a+b)-(a-b))/2なので、置き換えればよいです。

以上のことを頭で行えるようにしておくと、覚える必要もないですし、慣れれば直ぐに導けるようになると思います。

回答No.1

guuman

下方定理、積和公式、倍角（半角）の公式、三倍角の公式
いずれも覚えなくて決行
オイラーの指揮
ｅ＾（ｉｘ）＝・・・
だけ覚えておけばよい
オイラーの指揮だけを使ってこれらの公式を解きその家庭を補足に書け