体積

質問

はじめまして。
xyz空間において、x^2+y^2≦z≦2を満たす部分の体積をもとめよ。

このx^2+y^2≦z≦2を満たす部分の形さえ想像がつきません・・・。
ご教授よろしくお願いしますm(__)m

回答No.5

info22 · ベストアンサー

A#1のお礼の所の補足質問について
＞∫[x^2+y^2≦z]dxdyの部分の意味がよくわかりません。
積分記号が１つ足りませんでしたね。

∫∫[x^2+y^2≦z] dxdy
これはzを[0～2 の範囲の定数]としたときの
領域[x^2+y^2≦z]の単なる面積を表します。
被積分関数が「1」の時は領域の面積を表すということです。
x^2+y^2≦z　は半径(√z)の円の内部領域ですから積分
∫∫[x^2+y^2≦z] 1dxdy=π(√z)^2=πz
は円の面積になります。

お礼

返信ありがとうございます。
わかりやすい説明で納得できました。
本当にありがとうございました

回答No.4

kkkk2222

ーーー
＞＞x軸上の点xにおける立体の切り口の面積をＳ(x)とするとき
この立体の2平面x=a,x=bの間の部分の体積Ｖは
Ｖ＝∫[a,b]Ｓ(x)dx　
の公式を使っているのでしょうか？？

其のとおりです。
当方は高等学校＋アルファの力しかありません。

本当は、ＸＹ平面で記述したいのですが。
本文と重なりますので、
ＳＴ平面で補足します。

本問題は、ＳＴ平面上で
Ｔ＝√ＳをＳ軸の周りに３６０度回転させた、回転体の体積を求める事と同形になります。重複しますが、

体積Ｖ＝∫［０、２］（π（√Ｓ）＾２）ｄＳ

以上です。
ーーー

お礼

返信ありがとうございます。
このような公式さえすっかり忘れ
教科書から必死に探していました。
最後までありがとうございました。

回答No.3

info22

#1です。領域の説明の補足です。
x^2+y^2≦z≦2を表す立体について
x^2+y^2＝z
は楕円放物面を表す式です。
曲面の形状は参考URLの楕円放物面の所を見てください。

今の場合はa＝b＝1の水平面断面が円の場合です。
x^2+y^2≦zはこの曲面の上部領域を表します。

z≦2は　z＝2の平面の下部領域を表します。
体積を求める領域は
x^2+y^2＝zの上部領域でz=2の平面より下の領域です。

参考URL：

http://www.mlab.im.dendai.ac.jp/~toki/2_3C_CAGD/quad-surf.pdf

お礼

返信ありがとうございます。
画像URLまでのせてくださってわかりやすかったです。

回答No.2

kkkk2222

ＹＺ平面では　y^2≦z
ＺＸ平面では　x^2≦z

ＸＹ平面に平行な平面での
切断面が円、半径は√Ｚ、面積π（√Ｚ）＾２

体積Ｖ＝∫［０，２］πＺｄＺ
＝（１／２）πＺ＾２［０，２］
＝（１／２）π（４－０）
＝２π

でＯＫと思います。

お礼

返信ありがとうございます。
これは、
x軸上の点xにおける立体の切り口の面積をＳ(x)とするとき
この立体の2平面x=a,x=bの間の部分の体積Ｖは
Ｖ＝∫[a,b]Ｓ(x)dx　
の公式を使っているのでしょうか？？

回答No.1

info22

これは原点を頂点、底面が半径√2の円（ｚ＝2の水平面内、円の中心(0,0,2)）である逆さの垂直断面が放物面、水平断面が円の内部を表します。
体積Vの積分は
V=∫[z:0,2]∫[x^2+y^2≦z]dxdydz
=∫[z:0,2]π(√z)^2 dz=[(π/2)z^2][z:0,2]=2π
と求まります。

お礼

返信ありがとうございます。
体積のを求める積分のことなのですが、
V=∫[z:0,2]∫[x^2+y^2≦z]dxdydzの
∫[x^2+y^2≦z]dxdyの部分の意味がよくわかりません。
よかったら、教えてくださいm(__)m