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フビニの定理について
フビニの定理 もし、f(x,y)が可積分ならば、 ∫f(x,y)dx,∫f(x,y)dy がa.e.で存在していて、ともに可積分であり、等式 ∫f(x,y)dxdy=∫[∫f(x,y)dy]dx=∫[∫f(x,y)dx]dy が成り立つ。 それで、 f(x,y)が可積分でないときは、上式の第２式と第３式が存在しても、 その値が異なる場合がある例として、 1 1 ∫[∫(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dy]dx=π/4 0 0 1 1 ∫[∫(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dx]dy=-π/4 0 0 となるそうなのですが、この積分結果が導出できなくて困っています。 部分分数展開やら試してみたのですが、どうもうまくいきません。
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有名問題なのでズルして結果を示すと ∫(0～1)[∫(0～1)(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dy]dx =∫(0～1){[y/(x^2+y^2)](積分にy=0,1を代入)}dx =∫(0～1){1/(x^2+1)}dx =π/4 同様に ∫(0～1)[∫(0～1)(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dx]dy =∫(0～1){[-x/(x^2+y^2)](積分にx=0,1を代入)}dy =∫(0～1){-1/(y^2+1)}dy =-π/4 のようですね.
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