e^πが（-1)^(-i)だとすると

質問

この不思議な指数？は実数になるのでしょうか。こういうことは数学に詳しい人には自然に理解できることなのでしょうか。

回答No.7

kkkk2222 · ベストアンサー

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(kaitara1=kaitaradou)様

実は、最近の投稿（今回を含め４回）を拝読して、質問の内容より貴殿の思考内容に興味が移行しております。ＤＡＴＡをみますと、かなり造詣が深いことが判ります。生化学ではないかと推測します。

kaitaradou様時代の投稿を含み、ＫＥＹ　ＷＯＲＤ　は　（０、１、円、直線、微積、フラクタル・・・）直接お会いして会話出来きたら・・・・。先日から、過去の投稿を熟読して楽しませて頂いておりました。その中に、今回の投稿(-1)^（-ｉ）に関与する部分があり、原稿を準備していた矢先でした。

当方は貴殿が指定される＜数学に詳しい人＞には該当しません。せいぜい、高等学校＋アルファ程度です。
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(-1)^（-ｉ）は極最近自分で算出したとき、貴殿と同じ感想を抱きました、聊か驚いたたのは、計算結果がe^πになった事ではなく、計算結果が＜実数になった＞ことです。てっきり＜虚数になる＞と思い込んでいましたので。しばし思考して、判明しまいした。貴殿が既知であると推定される事にそって記述して見ます。

＃５様の記述通り、オイラーの式
＜ｅ^(iθ) ＝ cosθ ＋ ｉsinθ＞を援用します。
更に＃５様の記述通り
θ＝πを代入しますと
＜ｅ^(πi) ＝ cosπ ＋ ｉsinπ＝（－１）＋(i*０）＝－１＞となります。
即　ー１＝ｅ^(πi)　
(-1)^（-ｉ）＝【ｅ^(πi)】＾（-ｉ）＝【ｅ^(πi)（－i)】(指数法則）
＝ｅ^π
と比較的容易に算出されます。もっと簡単に＜実数＞になることを示せる気がしますが、考えておきます。

追記として、
数学の中に出現する、＜ｅ、π、i、－１＞の関係は、上記通り、＜ｅ^(πi)＝－１＞　が著名のようです。　
また、＜(-1)^（-ｉ）＝e^π＞はＷＩＫＩさんの中にも記述があり、これも著名のようです。

通常は　ＳＥＥ　ＹＯＵ　と　締めますが、上から数行目のの記述により、
変換して、　Ｉ　ＷＡＮＴ　ＴＯ　ＳＥＥ　ＹＯＵ　となります。
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お礼

いろいろな意味で恐縮いたしております。何か身に沁みる気がいたします。できるかぎり勉強させていただきます。改めて温かいお言葉に感謝申し上げます。

回答No.8

proto

完全に余談ですが、
一般に
　　(a + b*i)^(c + d*i) = x + y*i
としたときにx,yをそれぞれa,b,c,dで表すとどうなるか考えてみると面白いですよ。
オイラーの式と指数関数・対数関数の基本法則から導くことができます。
頑張れば高校生でも理解できると思います。

お礼

自信はありませんが、お言葉にしたがってしばらく努力してみたいと思います。ご教示に厚くお礼申し上げます。

回答No.6

hugen

定義より
（-1)^(-i)＝e^{-ilog(-1)}
log(-1)＝log|-1|＋iarg(-1)
-π＜arg(-1)≦π　に制限すると、 arg(-1)＝π
よって
（-1)^(-i)＝e^{-i・iπ}＝e^π

お礼

ご教示ありがとうございます。定義というものを理解するために勉強して完全に理解できればこの不思議さも同時に消えてしまうのかと思いました。

回答No.5

sanori

その式、初めて見ましたけど、
一目、オイラーの公式を変形したもののような気がしました。
オイラーの公式とは、
ｅiΠ　＝　－１
です。
（映画「博士が愛した数式」では、e^πi+1=0　になっていたと思います。）

両辺の自然対数をとって
iΠ　＝　ln(-1)
両辺にｉを掛け算して
Π　＝　-i・ln(-1)
両辺の自然対数を取って
e^Π　＝　(-1)^(-i)

おー、やっぱりそうでした。
ということは、左辺が実数であるのは当然なので、右辺も実数なんですね。
驚きました。

ちなみに、
オイラーの公式は
ｅ^(iθ) ＝ cosθ ＋ ｉsinθ
であって、上記の「オイラーの公式」というのは、θにπを代入したものです。

ｅ^(iθ) ＝ cosθ ＋ ｉsinθ
これ、美しさにおいても素晴らしい公式なのですが、
実用的な意味でも、とっても役に立つ式なんです。
私自身、ある技術開発の仕事でも何度も使ったことあります。

お礼

ご教示ありがとうございます。オイラーの公式にも同じような不思議さを感じています。

回答No.4

info22

-1＝e^(πi)
(-1)^(-i)＝｛e^(πi)｝^(-i)＝e^{(πi)×(-i)}
＝e^{π(i)×(-i)}＝e^(π×1)＝e^π
となりますから実数ということですね。虚数乗の数が実数になるのは不思議な気がしますね。実数の世界の延長としての虚数や複素数の世界を矛盾しないように導入することで数学や簡単に積分できない実関数の積分も簡単にできてしまいその積分結果も数値積分結果で正しいことが確認できて、微分積分や数学がすごく発展したことやそれが数学以外の領域も発展させ役立っていることはよく知られていることです。
虚数も慣れてしまえば当たり前のように使っているのか実状ですね。数学分野の方も虚数の世界を扱っている内に慣れっこになってそれが自然で当たり前に理解できるようになっているのだと思います。
i^(-2i)も　実数の e^π に成ります。
虚数空間からすれば実数空間は虚数空間の本の一部の特殊なケースかも知れません。不思議というしかありません。でも数学を使う立場の僕ら（工学者）はそれを受け入れることでその恩恵にあずかれますし、それが役立つことを実証する立場にあります。

お礼

不思議と思うことが私の知識不足や勘違いでなかったようでご教示を感謝いたします。できればもう少し勉強したいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.3

noname#101087

>e^πが（-1)^(-i)だとすると / この不思議な指数？は実数になるのでしょうか。こういうことは数学に詳しい人には自然に理解できることなのでしょうか。

「数学パズル」に詳しい人には常識なのでしょうが.... 。

数学利用者はいちいち勘定しないと呑みこめません。ふつうは、e^π を見て (-1)^(-i) を導こうとはしないでしょうね。
(-1)^(-i) という見慣れない式を見せられて、しかたなく
　-1=EXP(i*π) だから、(-1)^(-i)=EXP(π)
になおして計算機にでも掛ける、というのが普通でしょう。

お礼

ご見解を教えていただきありがとうございました。熟読させていただきたいと思います。

回答No.2

nanashisan_

複素数を理解している人には常識なんでしょうね。
「e^π」と「(-1)^(-i)」をgoogleで検索(というか計算されます)すると面白いです。

お礼

ご教示ありがとうございます。この不思議さが解消するかどうか試してみたいと思います。

回答No.1

okg00

eもπも実数の定数なのでe^πも定数になりますけど。

お礼

ご指摘をいただき、どうもありがとうございました。私の文章が不正確だったようです。