放物線に平面波を角度を傾けて入射したとき

質問

放物線に平面波を角度を傾けて入射したとき、反射した波によって、別の曲線が見えます。

http://www1.ezbbs.net/17/yosshy/img/1175602199_1.gif

この曲線は何でしょうか?

適当な文字を用いたとき、その曲線の方程式はどうなるでしょうか？

回答No.1

inara · ベストアンサー

【この曲線は何でしょうか】
（数学）　直線の集まりがなす曲線を、包絡線（ほうらくせん、envelope curve ）といいます。
（光学）　直線を反射（屈折）光線とみなす光学分野では焦線（しょうせん、focal line）とか火線（かせん、caustic curve）といいます[1]。
特に、問題にあるような反射光（線）の包絡線のことを反射火線（catacaustic）といいます。問題の曲線は、放物線（面）の軸に対して傾斜した平行入射光線に対する反射火線です。

【その曲線の方程式はどうなるでしょうか】
日本語と英語で検索してみましたが、放物線の軸から傾斜した入射光線（off-axis incident light）に対する包絡線の式は見つかりませんでした。そこで自分で計算してみました。ところが、この包絡線は４次の連立方程式を解かなければならず、数式処理ソフトを使っても解けませんでした。

質問に「適当な文字を用いたとき、その曲線の方程式はどうなるでしょうか？」とあるので、解析的な解を求めていると思われます。以下に計算過程を示します。もっとエレガントな解法があるかもしれませんし、計算間違いもあるかもしれません。

【計算過程】

（１）反射光線の方程式

放物線の軸をy軸にとったとき、放物線の方程式は次式で表されます。
y = a*x^2 --- (1)
この場合、凹面側での反射なので a>0 です（a<0 とすると、凸面放物面への反射になります）。
まず、第二象限（y > 0、x < 0）のある地点 A から、y軸とθの角度で光が入射しするとします。この光線が放物線にぶつかった点を P とします。そして、点Pで反射した光が、空間の B 点に向かっていくとします。点 Pの x 座標を x0 とすると、点Pは放物線上にあるので、y座標 y0 は式(1)から
y0 = a*x0^2 --- (2)
となります。点Pでの放物線の（x軸との）傾斜角を φ とすれば、
tan(φ) = dy/dx[x=x0] = 2*a*x0 --- (3)
となります。線分APとy軸となす角が θ 、反射面が x 軸となす角が φ ですから、反射光（線分BP）がy軸となす角αは次式で表されます。
α = 2*φ - θ --- (4)
ここでの θ はy軸と第二象限側とのなす角という意味であることに注意してください（第一象限からの光を表すときは θ <0 とすればいい）。

ここで、線分BP（反射光）の方程式を考えます。線分BPは点P( x0, y0 ) を通って、傾きが - tan( π/2 - α ) = -1 / tan( α ) の直線です。したがってその方程式は
y - y0 = -( x - x0 )/ tan( α ) --- (5)
となります。式(4)から、 tan( α ) = tan( 2*φ - θ ) = { tan( 2*φ ) - tan( θ ) } / { 1 + tan( 2*φ ) * tan( θ ) } = [ 2*tan( φ ) - { 1 - tan^2( φ ) }*tan( θ ) ] / { 1 - tan^2( φ ) + 2* tan( φ ) *tan( θ ) } となりますが、式(3)を使って tan(φ) を消せば、
tan( α ) = [ 4*a*x0 - { 1 - ( 2*a*x0 ) ^2 }*tan( θ ) ] / { 1 - ( 2*a*x0 )^2 + 4*a*x0 *tan( θ ) } --- (6)
となります。式(6を式(5)に代入すれば
y - y0 = - ( x - x0 )*{ 1 - ( 2*a*x0 )^2 + 4*a*x0 *tan( θ ) } / [ 4*a*x0 - { 1 - ( 2*a*x0 ) ^2 }*tan( θ ) ] --- (6)
となります。最後に式(2)を使って y0 を消せば
y - a*x0^2 = - ( x - x0 )*{ 1 - ( 2*a*x0 )^2 + 4*a*x0 *tan( θ ) } / [ 4*a*x0 - { 1 - ( 2*a*x0 ) ^2 }*tan( θ ) ] --- (7)
となって、反射光の方程式が得られます。ここで光線の入射角 θ を一定とすれば、式(7)の表す直線は、x0 をパラメータとした反射光線の軌跡（直線群）となります。

（２）直線群から包絡線を求める

x0をパラメータとした包絡線を f (x,y,x0) とすれば、f は次式を満たします[2]。
f (x,y,x0) =0、df/dx0 = 0
反射光の方程式を =0 の形に変形すれば

f (x,y,x0) = y - a*x0^2 + ( x - x0 )*{ 1 - ( 2*a*x0 )^2 + 4*a*x0 *tan( θ ) } / [ 4*a*x0 - { 1 - ( 2*a*x0 ) ^2 }*tan( θ ) ]
= [ 4*a^3*tan( θ )*x0^4 + a*{ 4*a*x - 4*a*y*tan( θ ) +3*tan( θ ) }*x0^2 + { -4*a*x*tan( θ ) - 4*a*y +1 }*x0 - x + y*tan( θ ) ] / { 4*a^2*tan( θ )*x0^2 + 4*a*x0 - tan( θ ) } = 0 --- (8)
df/dx0 = - ( 1 + 4*a^2*x0^2 )*{ 8*a^3*tan^2( θ )*x0^3 + 12*a^2*tan( θ )*x0^2 - 6*a*tan^2( θ )*x0 + 4*a*tan^2( θ ) - tan( θ ) } / { 4*a^2*tan( θ )*x0^2 + 4*a*x0 - tan( θ ) }^2 = 0 ---(9)

となります。この２式から x0 を消去すれば、包絡線を表す曲線になりますが、式(8),(9)はx0に関する４次式であり、数式処理ソフト（Maple）を用いても解けませんでした（式(8)は複素数解として、非常に複雑な解は得られました）。

【余談】
問題は放物線ですが、これをy軸の周りで回転させた放物面を反射鏡としたとき、入射光が、問題のように、y軸に対して傾斜しているとき、コマ収差と呼ばれる収差が発生して、反射光が一点に集まらなくなります。問題の包絡線は放物面のコマ収差の反射火線になるかと思います。

[1] （７行目）　http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/317_c.htm
[2] （ページ１） http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/envelope/index.pdf

お礼

ありがとうございました