加法定理と半角の公式について

質問

f(θ)=sin^2θ + sin^2(θ+α) + sin^2(θ+β)がθに無関係な一定値になるよう
にα,βの値を求めなさいという問題です。ここで、sin^2(θ+α)をとくとき
なぜ加法定理で展開せずに半角の公式をつかって、
1/2-1/2(cos2θcoc2α - sin2θsin2α)のように処理するのですか？
その判断はどこらあたりにあるのでしょうか？その必然性を教えてください。
お願いします。

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

＞cosθ+cos^2(θ+120)+cos~3(θ-120)を求めよという問題です
この問題は原題どおり正確でしょうか. cos^2(θ-120) とかならもっともらしいのですが．

さて，本題ですが，上の問題のように具体的で，きれいな値が出るものはそのまま加法定理でもよいかと思いますが（特にcos~3(θ-120) －－＞ cos^2(θ-120)のようなものなら対称性，偶奇性が使えて簡単になります），元の問題のように一般の形であれば，次数を下げる方向が原則ではないでしょうか（いわゆる次数下げ）．加法定理で２乗するのは上述のような特殊な形でなければにα（やβ）についても２次で，複雑になり，一般にはあまり有望でないことが多いです．

お礼

＞cosθ+cos^2(θ+120)+cos~3(θ-120)を求めよという問題です
この問題は原題どおり正確でしょうか. cos^2(θ-120) とかならもっともらしいのですが．

すいません、打ち間違えました。cos~3(θ-120)じゃなくて、cos^2(θ-120)が正しいです。それと、もう一カ所、cosθではなく、cos^2θです、正しく書き直すと、cos^2θ+cos^2(θ+120)+cos^2(θ-120)です。

なるほど、だいたいの判断基準がわかりました！やはり式の特殊性に注目するんですね。 ところで、すみません、偶奇性はどのようなところで使えるのでしょうか？対称性はわかるのですが。

回答No.11

oshiete_goo

No.9(kony0氏)の指摘に関する質問者の疑問に対するアドバイス
＞載っているみたいです。でも、なぜ「この式を見せたところで、必要十分は自明」になるのかがよくわからないのですが。A^2+B^2＝０になるだけですよね？

ここでは係数A,Bは実数と思っていますので,
A^2>=0, B^2>=0 より A^2+B^2＝0 ==> A=B=0 （本当はもちろん<==>がいえますが==>だけでもここでは十分です）
という意味です．
大学受験生で証明の問題ならば, 本当はここまで言うべきでしょうが，普通の求値問題ならば
AsinΘ+BcosΘ=sqrt(A^2+B^2)sin(Θ+α), ゆえに A=B=0 (*)
と示してあればまだ許される方でしょう（どんなに厳しい採点でも致命的な減点はないでしょう．）
もちろん，「A,Bは実数より」とだけでも触れるとなお良いですが．

お礼

お返事どうもありがとうございます！！
なるほど、２乗ということに目がいきませんでした。そうですね！わかりました。あぁ。他の方への質問にも答えていただけるなんてすばらしい人ですね。ありがとうございました。

回答No.10

oshiete_goo

No.9の補足要求への回答
＞AsinΘ+BcosΘ=sqrt(A^2+B^2)sin(Θ+α), ただしtanα=..
全くおっしゃる通り．合成も相当有力な解法です．
ただ，経験的には思った程には答案では多くなくて，残念ながら決め付けがかなり目につきます．

回答No.9

kony0

”任意のθについて Asinθ+Bcosθ=0” <==> A=B=0
についてですが、
今って
AsinΘ+BcosΘ=sqrt(A^2+B^2)sin(Θ+α), ただしtanα=...なんだったっけ？B/Aくらいかなぁ？（忘れてます^^;）
という公式は教科書に載ってないんですっけ？
もしこれがあれば、この式を見せたところで、必要十分は自明と思うのですが。

お礼

初めまして、こんにちは。

＞今って
AsinΘ+BcosΘ=sqrt(A^2+B^2)sin(Θ+α), ただしtanα=...なんだったっけ？B/Aくらいかなぁ？（忘れてます^^;）
という公式は教科書に載ってないんですっけ？

載っているみたいです。でも、なぜ「この式を見せたところで、必要十分は自明」になるのかがよくわからないのですが。A^2+B^2＝０になるだけですよね？

回答No.8

oshiete_goo

No.7に対する補足意見
＞解答に、「sinとcosの直交性から ・・・」というのは一言断った方がいいのですか？

大学レベル以上では自明として良いかも知れませんが，もし高校生(以下)や大学受験生だとすると,
A,Bが実数定数の時
”任意のθについて Asinθ+Bcosθ=0” <==> A=B=0
はそのまま論述の試験で何も言わずに”==>”を使うと危険ではないかと思われます．(なお，この回答では２θでなくすべてθで書いています)
左 <== 右 は明らかですが，左 ==> 右は高校数学までの範囲だと”自明”とするとまずくて何らかの理由を示さないと採点基準が甘くない場合は減点されるでしょう．筆者の限られた経験ですが，大手予備校の記述式模試で採点した際の基準では，何も言わずに結果のみ使った場合は説明不足で減点でした．

△「sinとcosの直交性から ・・・」（理由：高校数学では関数の直交性の話はやっていない）
△「sinとcosは一次独立だから ・・・」（理由：結論を主張しているだけで，具体的に導出していない）
×「自明」，「明らか」，説明なし
といった感じで，△はやや甘い基準ならフリーパスの可能性もあるが，厳しめの基準だと許されないであろう解答．ｘは相当危険で，よほど甘い基準でないと大きく減点もありうる解答．

では，どうすれば正しいかと言われれば，うるさく見ても絶対確実なのは
（角の単位の＾O は省略してますが，そのつもりで補って読んでください．テストで書かないと減点もありえます．)

「f(θ)=Asinθ+Bcosθ とおくと，任意のθについてf(θ)=0であるから
f(0)=B=0 かつ f(90)=A=0 より A=B=0 が必要で，逆にこのとき常にf(θ)=0 が成立して十分．よって A=B=0 (が必要十分)．」

といった程度の議論です．

なお，もとの問題の場合，f(θ)=(定数) となるA,Bの条件であり，f(θ)=0 とはまだ言えていないので，
「f(0)=f(90)=f(45) <==> B=A=(A+B)/√2 <==> A=B=0 が必要で，逆にこのとき
常にf(θ)=0 (定数)で十分．よってA=B=0．」
などの議論がないと，減点も有り得ます．

お礼

どうも御返事ありがとうございます！

＞大学レベル以上では自明として良いかも知れませんが，もし高校生(以下)や大学受験生だとすると,A,Bが実数定数の時
”任意のθについて Asinθ+Bcosθ=0” <==> A=B=0
はそのまま論述の試験で何も言わずに”==>”を使うと危険ではないかと思われます

＞そうですか、そういうのは全く知らなかったので、このままだと何も書かずに上のように書いていたと思います。間違いに気づけて良かったです。

＞筆者の限られた経験ですが，大手予備校の記述式模試で採点した際の基準では，何も言わずに結果のみ使った場合は説明不足で減点でした．

減点ですか。怖いですね、それは。気をつけます。

とても参考になりました。どうもありがとうございました。

回答No.7

upsilon4s

＞解答に、「sinとcosの直交性から ・・・」というのは一言断った方がいいのですか？
hoihoihoi18 さんは高校生でしょうか？
入試問題の解答ということなら、私はもう受験から離れて久しいので、
先生などまわりの人に聞いた方が確かだと思います。

お役に立てずにすみません。

お礼

upsilon4sさんお返事どうもありがとうございます。

＞hoihoihoi18 さんは高校生でしょうか？
入試問題の解答ということなら、私はもう受験から離れて久しいので、
先生などまわりの人に聞いた方が確かだと思います。

はい、そうです。

＞お役に立てずにすみません。

いえいえこちらこそわざわざすみませんでした。

回答No.6

black_monkey

black_monkeyと言います。
ワーイーワーイー三角関数だぁ～。
hoihoihoi18さんの質問の意図を無視して（お猿さんの能力では、回答できないのでぇ～シク、シク。）、αとβの満たす関係式を求めますぅ～。
(5),(6)のα、βの関係式がすでに導出済みと言うことでしたら、読み捨ててください。

【問題】
f(θ)=sin^2θ + sin^2(θ+α) + sin^2(θ+β)がθに無関係な一定値になるよう
にα,βの値を求めなさい。
【計算】
t=tan(θ/2)と置きます。

(1)　sin(θ)^2
=(2*t/(1+t*t))^2

(2)　sin(θ+α)^2
=(cos(θ)*sin(α)+sin(θ)*cos(α))^2
=[(1-t*t)/(1+t*t)*sin(α)+2*t/(1+t*t)*cos(α)]^2

(3)　sin(θ+β)^2
=(cos(θ)*sin(β)+sin(θ)*cos(β))^2
=[(1-t*t)/(1+t*t)*sin(β)+2*t/(1+t*t)*cos(β)]^2

(1)～(3)式を題意のf(θ)の式に代入し、整理しますと

(4)　f(θ)*(1+t*t)^2
=(sin(α)^2+sin(β)^2)*t^4
+4*(cos(α)*sin(α)+cos(β)*sin(β))*t^3
+2*(2+2*cos(α)^2+2*cos(β)^2-sin(α)^2-sin(β)^2)*t^2
+4*(cos(α)*sin(α)+cos(β)*sin(β))*t
+(sin(α)^2+sin(β)^2)

f(θ)がθによらないということは、(4)式の右辺がg(α,β)*(1+t*t)^2の形になっていることが要求されます。g(α,β)はtを含まないαとβの関数です。
(4)式のtの奇数次の項が0より
(5) cos(α)*sin(α)+cos(β)*sin(β)=0
→
cos(2*α)+sin(2*β)=0
(4)式のt^2の項が2*(sin(α)^2+sin(β)^2)に等しくならなければならないので、
(6)　2*(sin(α)^2+sin(β)^2)
=2*(2+2*cos(α)^2+2*cos(β)^2-sin(α)^2-sin(β)^2)
→
0=1+cos(2*α)+cos(2*β)

以上より
α、βが次の2式を満足するように決めればf(θ)はθに依存しないことがわかります。
(5) 0=cos(2*α)+sin(2*β)
(6) 0=1+cos(2*α)+cos(2*β)
ここで、ちょっと検算しますぅ。θ→θ+π/2とすれば、f(θ)のsinはcosになりますので、
f(θ)=cos^2θ+cos^2(θ+2*π/3)+cos^2(θ-2*π/3)
にも適用できます（角度をラジアン表示させていただきました。ウキィ～。）。
α=2*π/3
β=-2*π/3
よって、(5)式を満足することはすぐにわかります（ウキィ～）。
(6)式は、cos(4*π/3)=-cos(π/3)=-1/2より、満足することがわかるかと思います（ウキィ～）。
(5),(6)をさらに変形すれば、α、βの表式が求まるかなぁ～………ウ・キィ～キィ～？

【その他】
t=tan(θ/2)でcos(θ),sin(θ)が
cos(θ)=(1-t*t)/(1+t*t)
sin(θ)=2*t/(1+t*t)
と表現できることは、下記のgoo回答か、数学の参考書で確認していただければウキィ～ですぅ。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=272824

ウソ・誤記・誤計算がありましたらゴメンなさい。

お礼

black_monkeyさん、こんにちは。愉快なお返事どうもありがとうございます。
私にはとても高度な解答で、感心するばかりでした。いつのまにかお猿さんの能力は人間より凌駕していたのですね。シク、シク。ウ・キィ～キィ～

回答No.5

oshiete_goo

No.4に対する質問者の疑問への回答
＞正しく書き直すと、cos^2θ+cos^2(θ+120)+cos^2(θ-120)です。
やはりそうでしたか. これだとそれぞれ半角公式で次数を下げたとき，cos2(θ+120)とcos2(θ-120)が両方現れますが，これは
第1項は　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ・・・(1) の形(α=2θ,β=2*120). 第2項は[別に直接 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ でもいいのですが], 式(1)で(α=2θ,β=-2*120)とおくとcos(-β)=cosβ, sin(-β)=-sinβ の偶奇性が使えて,
(1)式の(第1項cosαcosβ)+(第2項sinαsinβ)となり, ±βの形が利いてこの2項の和により第2項のsinαsinβがうまく消えるのがミソです．でもこれは偶然ではなく，式の対称性(±βの形)から(打ち消し合って)ある程度簡単になることは十分予想されるというわけです．

なお，対称性といっても，この問題の場合もっと強い対称性があって，複素数平面の話をやっていればわかるでしょうが, 複素数 z0=cosθ+i*sinθ とすると，これを原点回りに120度回転したもの z1=cos(θ+120)+i*sin(θ+120) と，-120度回転したもの z2=cos(θ-120)+i*sin(θ-120) とからなる3点は，単位円｜z｜=1(原点中心，半径1の円)上で正三角形をなす3点です．
zの共役複素数をz(*)のように表せば, cosθ=(z0+z0(*))／2, cos(θ+120)=(z1+z1(*))／2, cos(θ-120)=(z2+z2(*))／2 であり，
与式はこれらの２乗の和となっています．ということは，対称性からある程度きれいな形になることが期待されます．
ここで，ド・モアブルの定理より，2乗すると（絶対値は1^2=1のままで，偏角のみ2倍されて）
(z0)^2=cos2θ+i*sin2θ, (z0(*))^2=cos2θ-i*sin2θ などとなることに注意すると，(z0*z0(*)=1も使って)
cos^2θ={(z0)^2+2*z0*z0(*)+(z0(*))^2}／4 ={cos2θ＋1}／2 (2で一回割った) となり，
(与式)={cos2θ+cos2(θ+120)+cos2(θ-120)+3}／2
以下略しますが，特に対称性があるときは図形的イメージを持ちつつやると良いことも多いので，問題の主題の理解を深めるためにも別解も研究しておくと良いでしょう．もちろん一番普通の解答を十分消化してからでないと危険ですが．

お礼

＞cos(-β)=cosβ, sin(-β)=-sinβ の偶奇性が使えて,
なるほど、偶奇性って、偶関数、奇関数のお話だったのですね。

複素数で考えられるんですね。驚きの感動の連続でした。自分でも問題の理解が深まったように思えます。この場合は、仰るように図形的イメージが別解では大切なんですね。どうもありがとうございました。一番普通の解答をだいたいつかんだので、oshiete_gooさんの解答も参考にしたいと思います。

回答No.3

19san

No1です。

>sin^2(θ+α)=(sinθcosα+cosθsinα)^2だから普通に展開できるのでは？

そうですね。なんか勘違いしてました。すいません。

解いていないけど、初めから加法定理を使っても解けるのではないかと思います。(解けなかったらごめんなさい)
ただ計算が煩雑になりそれだけ時間がかかるでしょう。
以前に解いたという問題はこの問題のαなどの部分が具体的な値だったのですんなり解けたのではないでしょうか？
二乗をみたら半角とか二倍角の公式等を上手く使うことができないかを考えろ、
というのをかつて予備校に通っていたときによく言われました。
解答さえ出ればいいのですからどちらの解法でもいいのではないでしょうか？

お礼

こんにちは。再登場どうもありがとうございます！

＞そうですね。なんか勘違いしてました。すいません。

いえいえこちらこそすいません。No,2の upsilon4sさんも少し戸惑っておられたみたいですし、こちらの書き方が誤解を招くような書き方だったと反省しております。

＞解いていないけど、初めから加法定理を使っても解けるのではないかと思います。(解けなかったらごめんなさい)

加法定理を使って展開してから、半角の公式を使っても解けそうですね。半角の公式を使わないで、解くのはちょっと難しそうです。私にはわかりませんでした。

回答No.2

upsilon4s

加法定理というのは
　sin^2(θ+α)=(sinθcosα+cosθsinα)^2=…
というふうに進めていくということでいいでしょうか？

そうだとすると、
　f(θ)=Ａsin^2θ + Ｂcos^2θ + Ｃsinθcosθ + Ｄ
という形になった後どのようにするのか
ちょっと困ってしまいそうです。

今の問題の場合、
　f(θ)=Ａsin(nθ) + Ｂcos(nθ) + Ｃ　　　（nは整数）
という形に持っていくと、sinとcosの直交性から
係数Ａ，Ｂが共に０になるときに f(θ) が
θによらず一定になることがわかります。
この問題では sinθ の２次になっており、
n=2 の予測もつくので、
　f(θ)=Ａsin(2θ) + Ｂcos(2θ) + Ｃ
という形に持っていこうという方針で解くことになると思います。

お礼

こんにちは。お返事ありがとうございます！

＞加法定理というのは
　sin^2(θ+α)=(sinθcosα+cosθsinα)^2=…
というふうに進めていくということでいいでしょうか？

はい、そうです。言葉が足りませんでしたね。自分だけわかったつもりになっていて・・・すいませんでした。

＞今の問題の場合、 　f(θ)=Ａsin(nθ) + Ｂcos(nθ) + Ｃ　　　（nは整数）
という形に持っていくと、sinとcosの直交性から 係数Ａ，Ｂが共に０になるときに f(θ) が
θによらず一定になることがわかります。

なるほど、見通しがはっきり見えました。まずは角度を統一することに目を向けるのがこの問題では大事なんですね。とても参考になりました！有り難うございます！ところで、解答に、「sinとcosの直交性から ・・・」というのは一言断った方がいいのですか？多分、ベクトルの一次独立と似た話ですよね？「一次独立」は書かないとダメだと思うんですが、この場合も書く必要があるのでしょうか。

回答No.1

19san

質問の意図がよくわからないのですが、
sin^2(θ+α)に直接加法定理を適用しないのはなぜかということでしょうか？
そうでなかったらごめんなさい。
では説明です。
まずsin^2(θ+α)を加法定理で展開できますかね？
私はそのように習った記憶はありません。
sinやcosで二乗が出てきたら半角の公式や2倍角の公式を適用しますよね？
そうすることによって累乗をとりはらい、その後角度が(θ+α)のような場合、
そこに加法定理を適用するのではないでしょうか？
sin^2(θ+α)＝1/2-1/2cos2(θ+α)ここで加法定理を適用し、
＝1/2-1/2(cos2θcoc2α - sin2θsin2α)
とする以外考えられないと思うのですが・・・。

お礼

こんにちは。お返事感謝です。

＞sin^2(θ+α)に直接加法定理を適用しないのはなぜかということでしょうか？

そういうことです。第一手目の話です。

＞まずsin^2(θ+α)を加法定理で展開できますかね？
私はそのように習った記憶はありません。

sin^2(θ+α)=(sinθcosα+cosθsinα)^2だから普通に展開できるのでは？

加法定理で展開して２乗したら解ける問題があったので、どちらでいけばいいのか混乱してるんです。ちなみにその問題は、
cosθ+cos^2(θ+120)+cos~3(θ-120)を求めよという問題です。
今回の問題と特徴的に違う箇所はありますでしょうか？