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ベクトルの垂心の証明
三角形ＡＢＣの外心をＯ，ＯＨベクトル＝ＯＡベクトル＋ＯＢベクトル＋ＯＣベクトルとするとき、点Ｈは三角形ＡＢＣの垂心であることを示せ。 解答ではＡＨベクトル・ＢＣベクトル＝０ ＢＨベクトル・ＣＡベクトル＝０ ＣＨベクトル・ＡＢベクトル＝０の３つを言うことで証明していますが、このうちの２つだけを示す事でも垂心があることが言えると思うのですが３つとも言わないといけないのですか？教えてください。
- nyannko123
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>>An.２様：有名な事実です。 ＯＨ＝ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ より、 ＡＨ＝ＯＢ＋ＯＣ だから、 ＡＨ・ＢＣ＝（ＯＢ＋ＯＣ）・（ＯＣ－ＯＢ）＝｜ＯＣ｜＾２－｜ＯＢ｜＾２＝０ です。なぜならＯは外接円の中心だから。 さて質問者様、この回答をよく読むと、ＡをＢに、ＢをＣに、ＣをＡに変えることによってまったく同じ計算をして ＢＨ・ＣＡ＝０ を証明できます。さらにＡをＢに、ＢをＣに、ＣをＡに変えて ＣＨ・ＡＢ＝０ です。したがって実質ひとつさえ証明できれば、あとは“同様に”と書いて論証を省略することが可能です。 ではやや略証で済ましてよいとしても、それでも３つ示さないといけないかというと、これはAn.１様もご指摘されているとおり、垂心の定義の問題なのです。垂心が三角形の各頂点から下ろした３垂線の交点である、ということならば、やはり３つとも示さないと垂心であることにはなりません。 ところが、実は垂心というのは、適当にとった２垂線の交点でもあるので、こちらが定義だとすると、２つの証明で十分なんです。というわけで結論ですが、２つの証明で実は足りているのだけれど、３つ書いておく方が無難だ、ということです。３つ書いて×になることはないが、２つだと意地の悪い先生なら、やや証明不十分といって減点する可能性があります。
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- postro
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その前に ＞三角形ＡＢＣの外心をＯ，ＯＨベクトル＝ＯＡベクトル＋ＯＢベクトル＋ＯＣベクトルとするとき、点Ｈは三角形ＡＢＣの垂心である ↑これ本当ですか？
- Mr_Holland
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「３つの垂線が１点で交わる」ことが与えられていれば、質問者さんが言われるように2つだけを示せば良いと思います。 ただ、与えられていなければ、証明の深さにもよりますが、問題によっては「３つの垂線が１点で交わる」ことの証明も含まれているような場合もありますので、その場合には３つとも直交することを示すのが妥当だと思われます。
お礼
解答ありがとうございました。とっても助かりました。
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