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分数の積分について

∫[0→1]∫[0→1] (x-y)/(x+y)^2 dy dx を解こうと考えているのですが、 この積分はx=r*cosθ y=r*sinθと置換し、ヤコビアンrをかけて積分すればよいのでしょうか？ それとも、(x-y)/(x+y)^2をそのまま(x-y)*(x+y)^(-2)として解けばよいのでしょうか？ アドバイスよろしくおねがいします。

みんなの回答

  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.2

　＃１です。 　お礼を拝見しました。 ＞x/(x+y)^2-y/(x+y)^2がx/t^(-2)－(t-x)/t^(-2)に置き換わるということでいいんですよね？ そうです。

thinsulate
質問者

お礼

ありがとうございます。

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  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.1

　この重積分はｘとｙの対称性について考えれば、答えはすぐに「０」だということが分かります。 　　∫[0→1]∫[0→1] (x-y)/(x+y)^2 dy dx 　＝∫[0→1]∫[0→1] {x/(x+y)^2-y/(x+y)^2} dy dx 　＝∫[0→1]∫[0→1] x/(x+y)^2 dy dx －∫[0→1]∫[0→1]y/(x+y)^2 dy dx 　＝∫[0→1]∫[0→1] x/(x+y)^2 dy dx －∫[0→1]∫[0→1]x/(y+x)^2 dx dy　　・・・・第2項のxとyを置き換える。 　＝∫[0→1]∫[0→1] x/(x+y)^2 dy dx －∫[0→1]∫[0→1] x/(x+y)^2 dy dx 　・・・・xとyは独立なので。 　＝０ 　また、対称性を利用せず解く場合は、x+y＝tと置いて、被積分関数をx/t^(-2)－(t-x)/t^(-2)に変形して、log(x)の不定積分x・log(x)-xを利用すればよいでしょう。

thinsulate
質問者

お礼

ありがとうございます。 対象性を利用せずに解く場合x+y=tと置いてますが、 x/(x+y)^2-y/(x+y)^2が x/t^(-2)－(t-x)/t^(-2)に置き換わるということでいいんですよね？

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