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和の分布
nubouの回答
- nubou
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確率変数Ｙ１と確率変数Ｙ２が互いに独立の分布であって 確率変数Ｙ１，確率変数Ｙ２の確率密度関数をそれぞれｑ（ｘ），ｒ（ｘ）とする Ｙ１＋Ｙ２の確率分布関数をＦ（ｘ）とすると Ｆ（ｘ）＝∫∫（ａｌｌ）ｄｘ１ｄｘ２・ｑ（ｘ１）・ｒ（ｘ２）・ｈ（ｘ－ｘ１－ｘ２） 従ってＹ１＋Ｙ２の確率密度関数Ｇ（ｘ）は上式を微分して Ｇ（ｘ）＝∫∫（ａｌｌ）ｄｘ１ｄｘ２・ｑ（ｘ１）・ｒ（ｘ２）・δ（ｘ－ｘ１－ｘ２） ＝∫（－∞＜ｘ１＜∞）ｄｘ１・ｑ（ｘ１）・ｒ（ｘ－ｘ１）＝（ｑ＊ｒ）（ｘ） ただし＊は畳み込み積分である 以上から 確率変数Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３，Ｘ４の確率密度関数は等しくｐ（ｘ）とすると Ｘ１＋Ｘ２の確率密度関数はｐ２（ｘ）＝（ｐ＊ｐ）（ｘ） Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３の確率密度関数はｐ３（ｘ）＝（ｐ＊ｐ＊ｐ）（ｘ） Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３＋Ｘ４の確率密度関数はｐ４（ｘ）＝（ｐ＊ｐ＊ｐ＊ｐ）（ｘ） ｐの両側ラプラス変換Ｐは Ｐ（ｓ）＝∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・ｐ（ｘ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｘ） ＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））／ｓ／２ ｐ２≡ｐ＊ｐの両側ラプラス変換Ｐ２は Ｐ２（ｓ）＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾２／ｓ＾２／４ ｐ３≡ｐ＊ｐ＊ｐの両側ラプラス変換Ｐ３は Ｐ３（ｓ）＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾３／ｓ＾３／８ ｐ４≡ｐ＊ｐ＊ｐ＊ｐの両側ラプラス変換Ｐ４は Ｐ３（ｓ）＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾４／ｓ＾４／１６ Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４をそれぞれ両側ラプラス変換表によって逆変換すれば ｐ２，ｐ３，ｐ４が求まる 後はルーチンワークです 両側ラプラス変換だと簡単ですね この問題は片側ラプラス変換だとお手上げですよ 両側ラプラス変換はｘ０が存在してｘ＜ｘ０ならばｆ（ｘ）＝０である関数ｆに適用されます ｆ（ｘ）の両側ラプラス変換をＬ（ｆ（ｘ））（ｓ）と書くと Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）≡∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・ｆ（ｘ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｘ） です 両側ラプラス変換表： Ｌ（ａ・ｆ（ｘ）＋ｂ・ｇ（ｘ））（ｓ）＝ａ・Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）＋ｂ・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ） Ｌ（ｇ’（ｘ））（ｓ）＝ｓ・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ） Ｌ（∫（－∞＜τ＜ｔ）ｄτ・ｇ（τ））（ｓ）＝Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）／ｓ Ｌ（∫（－∞＜τ＜∞）ｄτ・ｆ（τ）・ｇ（ｘ－τ））（ｓ）＝Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ） Ｌ（ｇ（ｘ－ａ））（ｓ）＝ｅｘｐ（－ａ・ｓ）・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ） Ｌ（ｇ（ｘ）・ｅｘｐ（－ａ・ｘ））（ｓ）＝Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ＋ａ） Ｌ（δ（ｘ））（ｓ）＝１ Ｌ（ｈ（ｘ）・ｘ＾α）（ｓ）＝Γ（α＋１）／ｓ＾（α＋１） Ｌ（ｈ（ｘ）・ｃｏｓ（ω・ｘ））（ｓ）＝ｓ／（ｓ＾２＋ω＾２） Ｌ（ｈ（ｘ）・ｓｉｎ（ω・ｘ））（ｓ）＝ω／（ｓ＾２＋ω＾２）
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