一様分布について

質問

確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う時、Y=1-Xと変換すれば
Yはまた一様分布になることを示せ

という問題で確率変数Xの確率密度をfx(x)、確率変数Yの確率密度をfy(y)として「確率分布関数の微分は確率密度」の定義より確率変数X,Yの確率分布関数が等しいので確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う時、Y=1-Xと変換すればYはまた一様分布になる。
と証明したのですが解き方として間違いはないでしょうか？

ご教授願います。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

まったく完璧ですよ。

ちなみに直感的にも明らかですし、また分布関数がともに一致する、という証明でもいいです。こちらの方が多少計算量は少なくなると思います。

例．P(Y≦y)=P(1-X≦y)=P(X≧1-y)=1-P(X<1-y)=1-(1-y)=y
ただし0<y<1とし、P(X<1-y)=1-yはXが(0,1)上の一様分布であることを使った。このことからYも(0,1)上の一様分布であることが分かりますね。微分して密度が1であることも直ちに分かります。

お礼

ご回答ありがとうございます。自信をもつことができました。
ご教授ありがとうございました。

回答No.2

at9_am

もし質問文にある解答が端折っていて、本当は書かれていたのなら済みませんが、
> 定義より確率変数X,Yの確率分布関数が等しい
とはどこから出てきたのでしょうか？
というか、この問題はここを示すことが目的で、示していない解答だと点をもらえないでしょう。
以下に解答例を書きます。

Fx(x) を x の確率分布関数とし、Fy(y)を y の確率分布関数とすれば、
Fy(y) = Pr(Y < y) = Pr(1-X < 1-x)
= Pr(X > x) = 1 - Pr(X < x) = 1 - Fx(1-y)
であり、x は (0,1) の一様分布から Fx(x)=x となるため
Fy(y) = 1 - (1-y) = y
である。したがって y は一様分布する。

お礼

ご回答ありがとうございます。
この質問では解き方の確認をしたかったので
回答は別に作成済みです。
回答例も大変参考になりました。
ありがとうございました。