和の分布

質問

確率変数X1,X2,X3,X4がそれぞれ独立に一様分布U(-1,1)(-1と1の間の値を等確率密度でとる分布関数)に従うとき、すぐ上のことを使って, X1+X2, X1+X2+X3, X1+X2+X3+X4 の確率密度関数を求めよ。

が解けません。
だれかお時間のあるかた、ご指導お願いします。

回答No.4

nubou · ベストアンサー

確率変数Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３，Ｘ４の確率密度関数は等しくｐ（ｘ）とし
Ｘ１＋Ｘ２の確率分布関数をｑ２（ｘ）とし
Ｘ１＋Ｘ２の確率密度関数をｐ２（ｘ）とし
Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３の確率分布関数をｑ３（ｘ）とし
Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３の確率密度関数をｐ３（ｘ）とし
Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３＋Ｘ４の確率分布関数をｑ４（ｘ）とすると
Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３＋Ｘ４の確率密度関数をｐ４（ｘ）とすると

p(x)=(h(x+1)-h(x-1))/2

q2(x)=
∫∫(y+z<x)dydz・p(y)・p(z)=
∫∫(all)dydz・h(x-y-z)・p(y)・p(z)
従って
p2(x)=(d/dx)・q2(x)=
∫∫(all)dydz・δ(x-y-z)・p(y)・p(z)=
∫(all)dy・p(y)・p(x-y)=(p*p)(x)

q3(x)=
∫∫∫(y+z+u<x)dydzdu・p(y)・p(z)・p(u)=
∫∫∫(all)dydzdu・h(x-y-z-u)・p(y)・p(z)・p(u)
従って
p3(x)=(d/dx)・q3(x)=
∫∫∫(all)dydzdu・δ(x-y-z-u)・p(y)・p(z)・p(u)=
∫∫(all)dydz・p(y)・p(z)・p(x-y-z)=
∫(all)dy・p(y)・(p*p)(x-y)=(p*(p*p))(x)=(p*p*p)(x)

q4(x)=
∫∫∫∫(y+z+u+v<x)dydzdudv・p(y)・p(z)・p(u)・p(v)=
∫∫∫∫(all)dydzdudv・h(x-y-z-u-v)・p(y)・p(z)・p(u)・p(v)
従って
p4(x)=(d/dx)・q4(x)=
∫∫∫∫(all)dydzdudv・δ(x-y-z-u-v)・p(y)・p(z)・p(u)・p(v)=
∫∫∫(all)dydzdu・p(y)・p(z)・p(u)・p(x-y-z-u)=
∫∫(all)dydz・p(y)・p(z)・(p*p)(x-y-z)=
∫(all)dy・p(y)・(p*(p*p))(x-y)=(p*(p*(p*p)))(x)=(p*p*p*p)(x)

Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）≡∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・ｆ（ｘ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｘ）とし
Ｐ（ｓ）＝Ｌ（ｐ（ｘ））（ｓ）とし
Ｐ２（ｓ）＝Ｌ（ｐ２（ｘ））（ｓ）とし
Ｐ３（ｓ）＝Ｌ（ｐ３（ｘ））（ｓ）とし
Ｐ４（ｓ）＝Ｌ（ｐ４（ｘ））（ｓ）とすると

Ｌ（（ｆ＊ｇ）（ｘ））（ｓ）＝Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）であり
Ｌ（ｈ（ｘ＋ａ））（ｓ）＝ｅｘｐ（ａ・ｓ）／ｓ であるから

Ｐ（ｓ）＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））／ｓ／２
Ｐ２（ｓ）＝Ｐ（ｓ）＾２＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾２／ｓ＾２／４
Ｐ３（ｓ）＝Ｐ（ｓ）＾３＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾３／ｓ＾３／８
Ｐ４（ｓ）＝Ｐ（ｓ）＾４＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾４／ｓ＾４／１６

以後
Ｌ（ａ・ｆ（ｘ）＋ｂ・ｇ（ｘ））（ｓ）＝ａ・Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）＋ｂ・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）
と
Ｌ（ｈ（ｘ＋ａ）・（ｘ＋ａ）＾ｎ／ｎ！）（ｓ）＝ｅｘｐ（ａ・ｓ）／ｓ＾（ｎ＋１）
を使ってｐ１（ｘ）とｐ２（ｘ）とｐ３（ｘ）を求める

回答No.3

kony0

この問題、計算がけっこう面倒くさいです。

X1+X2の分布
これは、「お絵かき」で解ける問題。
X1-X2平面に、[-1,1]×[-1,1]の矩形を描いて、
矩形内かつ領域X1+X2<=kを塗りつぶせば、
矩形の面積と、塗りつぶした面積の比が確率分布関数P(X1+X2<=k)になりますよね？（X1,X2は互いに独立な一様分布なので）
それを微分して終わり。

まずは、上の解法で、visual的に理解をしてから、たたみこみだのラプラス変換だのに行ってみてもよいのでは？

回答No.2

nubou

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
Ｐ４（ｓ）＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾４／ｓ＾４／１６
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

罪滅ぼしに変換表で関連するものだけ選んでおきましょう

両側ラプラス変換表：
Ｌ（ａ・ｆ（ｘ）＋ｂ・ｇ（ｘ））（ｓ）＝ａ・Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）＋ｂ・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）
Ｌ（（ｆ＊ｇ）（ｘ））（ｓ）＝Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）
Ｌ（ｇ（ｘ＋ａ））（ｓ）＝ｅｘｐ（ａ・ｓ）・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）
Ｌ（ｈ（ｘ）・ｘ＾α）（ｓ）＝Γ（α＋１）／ｓ＾（α＋１）
とくに
Ｌ（ｈ（ｘ））（ｓ）＝１／ｓ
Ｌ（ｈ（ｘ）・ｘ）（ｓ）＝１／ｓ＾２
Ｌ（ｈ（ｘ）・ｘ＾２）（ｓ）＝２／ｓ＾３
Ｌ（ｈ（ｘ）・ｘ＾３）（ｓ）＝６／ｓ＾４

体力勝負です
がんばってください

回答No.1

nubou

確率変数Ｙ１と確率変数Ｙ２が互いに独立の分布であって
確率変数Ｙ１，確率変数Ｙ２の確率密度関数をそれぞれｑ（ｘ），ｒ（ｘ）とする
Ｙ１＋Ｙ２の確率分布関数をＦ（ｘ）とすると
Ｆ（ｘ）＝∫∫（ａｌｌ）ｄｘ１ｄｘ２・ｑ（ｘ１）・ｒ（ｘ２）・ｈ（ｘ－ｘ１－ｘ２）
従ってＹ１＋Ｙ２の確率密度関数Ｇ（ｘ）は上式を微分して
Ｇ（ｘ）＝∫∫（ａｌｌ）ｄｘ１ｄｘ２・ｑ（ｘ１）・ｒ（ｘ２）・δ（ｘ－ｘ１－ｘ２）
＝∫（－∞＜ｘ１＜∞）ｄｘ１・ｑ（ｘ１）・ｒ（ｘ－ｘ１）＝（ｑ＊ｒ）（ｘ）
ただし＊は畳み込み積分である

以上から
確率変数Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３，Ｘ４の確率密度関数は等しくｐ（ｘ）とすると
Ｘ１＋Ｘ２の確率密度関数はｐ２（ｘ）＝（ｐ＊ｐ）（ｘ）
Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３の確率密度関数はｐ３（ｘ）＝（ｐ＊ｐ＊ｐ）（ｘ）
Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３＋Ｘ４の確率密度関数はｐ４（ｘ）＝（ｐ＊ｐ＊ｐ＊ｐ）（ｘ）

ｐの両側ラプラス変換Ｐは
Ｐ（ｓ）＝∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・ｐ（ｘ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｘ）
＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））／ｓ／２
ｐ２≡ｐ＊ｐの両側ラプラス変換Ｐ２は
Ｐ２（ｓ）＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾２／ｓ＾２／４
ｐ３≡ｐ＊ｐ＊ｐの両側ラプラス変換Ｐ３は
Ｐ３（ｓ）＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾３／ｓ＾３／８
ｐ４≡ｐ＊ｐ＊ｐ＊ｐの両側ラプラス変換Ｐ４は
Ｐ３（ｓ）＝（ｅｘｐ（ｓ）－ｅｘｐ（－ｓ））＾４／ｓ＾４／１６
Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４をそれぞれ両側ラプラス変換表によって逆変換すれば
ｐ２，ｐ３，ｐ４が求まる

後はルーチンワークです
両側ラプラス変換だと簡単ですね
この問題は片側ラプラス変換だとお手上げですよ

両側ラプラス変換はｘ０が存在してｘ＜ｘ０ならばｆ（ｘ）＝０である関数ｆに適用されます
ｆ（ｘ）の両側ラプラス変換をＬ（ｆ（ｘ））（ｓ）と書くと
Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）≡∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・ｆ（ｘ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｘ）
です

両側ラプラス変換表：
Ｌ（ａ・ｆ（ｘ）＋ｂ・ｇ（ｘ））（ｓ）＝ａ・Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）＋ｂ・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）
Ｌ（ｇ’（ｘ））（ｓ）＝ｓ・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）
Ｌ（∫（－∞＜τ＜ｔ）ｄτ・ｇ（τ））（ｓ）＝Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）／ｓ
Ｌ（∫（－∞＜τ＜∞）ｄτ・ｆ（τ）・ｇ（ｘ－τ））（ｓ）＝Ｌ（ｆ（ｘ））（ｓ）・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）
Ｌ（ｇ（ｘ－ａ））（ｓ）＝ｅｘｐ（－ａ・ｓ）・Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ）
Ｌ（ｇ（ｘ）・ｅｘｐ（－ａ・ｘ））（ｓ）＝Ｌ（ｇ（ｘ））（ｓ＋ａ）
Ｌ（δ（ｘ））（ｓ）＝１
Ｌ（ｈ（ｘ）・ｘ＾α）（ｓ）＝Γ（α＋１）／ｓ＾（α＋１）
Ｌ（ｈ（ｘ）・ｃｏｓ（ω・ｘ））（ｓ）＝ｓ／（ｓ＾２＋ω＾２）
Ｌ（ｈ（ｘ）・ｓｉｎ（ω・ｘ））（ｓ）＝ω／（ｓ＾２＋ω＾２）