- ベストアンサー
確率密度関数は常にないの？
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
うっかり「超関数の範囲であっても」というところを読み飛ばしていて前の回答を書いていたのですが、私が「たとえ連続でも微分できない点がありうるので確率密度関数を分布関数の導関数として定義しない」と書いたのは超関数の意味ではありません。確率論でももちろん超関数を扱いますが、要するに学習レベルに応じて使うということでしょう。私は質問No.267135を意識していましたので、分布関数や確率密度関数を初めて習うときに、数学としてきちんと定義した上で超関数を持ち出すことは無理があると言いたかったのです。もちろん形式的・直感的に離散分布に対する｀確率密度関数’をデルタ関数を使って書いて見せることはあっても、きちんと準備していない以上それを確率密度関数だと言い切ることには躊躇します。 要するにｙ＝｜ｘ｜は原点で微分できないと言うのと同じ様な意味で、確率密度関数はないことがあるということです。
その他の回答 (2)
- linearis
- ベストアンサー率45% (29/64)
確率密度関数の定義は、「積分して分布関数になる関数」です。つまり、 F(x)=P(X≦x)＝∫ {p(t)}dt を満たすp(x)のことです。ここで積分範囲は-∞からxまでです。F(x)は単調非減少ですが、たとえ連続でも微分できない点がありうるので確率密度関数を分布関数の導関数として定義しないのです。 さて離散分布の場合おっしゃる通りデルタ関数を持ち出すと形式的には｀確率密度関数’を書くことができますが、デルタ関数はいわゆる関数ではなく、これはあくまでも「形式的に」ということです。詳細は省きますがもちろんデルタ関数は超関数としてきちんと（理論的に）認知されている概念ですが、通常確率密度関数と言ったら超関数等を持ち出さない通常の関数の範囲で考えるのだと思います。ちなみにp(x)dxを確率素分ということもあります。
お礼
ディストリビューションで定義される超関数においては すくなとともルベーグ積分可能な関数はすべて超関数の意味で微分可能だと思うのですが 従って連続な関数はリーマン積分可能な関数だから超関数の意味ですべて微分可能だと思うのですがどうでしょうか？ ハイパーファンクションのほうが評判がいいのですが不勉強なもので全くかじっていません よろしくお願いします
補足
たとえ連続でも微分できない点がありうるので確率密度関数を分布関数の導関数として定義しないのです： 超関数を導入すると離散分布と連続分布が統一的に議論できるので便利だと思うのですが確率論ではそのような試みはなされていないのですか？ こんな便利なものを導入しない理由を教えてください 通信理論や制御理論は関数の範囲を超関数の範囲に広げなければ大変な労力を必要とするので超関数が早くから導入されています 超関数は普通の不連続関数は不連続点で微分できますが連続関数で微分できない関数の例を教えてください よろしくお願いします
- UmenoMiyako
- ベストアンサー率43% (86/199)
えっと。 連続変数のことを考えていらっしゃるから、 微分できないのがおかしいとおもうわけですよね？ 分離変数上で定義されている確率分布関数なんかは、 微分できないですよね。 いわゆる離散的確率変数というやつですよね。 たとえば、 二項分布 ポアソン分布 超幾何分布 などでしょうか。
お礼
例えばポアソン分布の確率分布関数は Ｆ（ｘ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・ｅｘｐ（－λ）・λ＾ｎ／ｎ！・ｈ（ｘ－ｎ） であるから微分して確率密度関数を求めると ｆ（ｘ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・ｅｘｐ（－λ）・λ＾ｎ／ｎ！・δ（ｘ－ｎ） となるのではないでしょうか？
補足
例えばポアソン分布の確率密度関数は ｆ（ｘ）＝Σ（０≦ｎ＜∞）・ｅｘｐ（－λ）・λ＾ｎ／ｎ！・δ（ｘ－ｎ） となるのではないでしょうか？
関連するQ&A
- 累積分布関数の極大値における確率密度関数
確率を勉強しています。 そこで気になったのですが、確率の累積分布関数の微分である確率密度関数は、その変化率の大きさが値のでやすさだとよく説明されています。 しかし、累積分布関数の極大値付近は確率が高いにもかかわらず、関数自体の変化率（確率密度関数）の値は小さくなると思うのです。なので、確率密度関数の値の大小で元の分布関数における確率の大きさが読み取れるとは思えないのですが、どう解釈すればよろしいでしょうか？ ご教授願えれば幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率密度関数の求め方を教えてください。
確率密度関数の求め方を教えてください。 期待値μ、分散σ^2 の正規分布を N(μ,σ^2)とする。 X～N(0,1)のとおき、確率変数 Y=X^2 の確率密度関数を求めよ。 という問題があるのですがよくわかりません。 どなたか解法と解答を教えてください。 お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率密度関数に関する問題。
超基礎問題なのですが理解できません… ご教授よろしくお願いします。 (1)確率変数Xの密度関数が f(x)=1/2,-1<x<1 0,その他の場合 であるとする。 このときXの平均、分散を求めよ。 (2)Xは標準正規分布N(0,1)に従う確率変数であるとする。下の問いに答えよ。 (a)Xの確率密度関数を書け。 (b)X^2の確率密度関数を求めよ。 (3)X,Yは独立な確率変数であり、Xはパラメータλ1のポアソン分布Po(λ1)に従い また、Yはパラメータλ2のポアソン分布Po(λ2)に従うとする。 このときX+Yの確率分布を求めよ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率密度関数の問題について
以前こちらのページで質問した問題なのですが http://questionbox.jp.msn.com/qa7128851.html 問題を履き違えていたので補足して再度質問させていただきます。 ある指数分布を持つ確率変数α、β、γがあるとき、 F＝（α＋β）/（α*β＋β*γ＋γ*α） の確率密度関数を求めたいのですが、 この問題は解けるのでしょうか。 和α＋βの確率密度関数も、積α*β...の確率密度関数も求めることが出来るので なんとなく解けるような気はするのですが、そこからの解き方がわかりません。 よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率密度関数の求め方を教えてください
確率密度関数の求め方を教えてください。 区間 [a,b] 上の一様分布を U([a,b]) とする。 X,Y：i.i.d.～U([0,1]) のとき、 Z:=max{X,Y} の確率密度関数を求めよ。 という問題があるのですがよくわかりません。 どなたか解法と解答を教えてください。 お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率密度関数
閉区間[ 0 , 4 ] 上の値のみをとる確率変数X が，確率密度関数f(t) = −at2(tの2乗)+ 4at ( 0 ≤ t ≤ 4 ) ( a : 定数) を持つものとする．この時，次の各問に答えよ． (1) 定数a の値を求めよ． (2) X の期待値E(X) の値を求めよ． (3) X の累積分布関数F(x) ( 0 ≤ x ≤ 4 ) を求めよ． という問題なのですが、(1)がわからず、先に進めなくなってしまいました。f(t)を微分したりして求めるのかなとは思ったのですが・・・。どなたか求め方を教えていただけないでしょうか？また、(2)、(3)についても解き方を教えていただけないでしょうか？どうかよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 確率密度関数の問題がわかりません
下の問題がどうしてもわかりません。調べて確率密度関数が確率分布関数の導関数であるということは分かったのですが結局問題は解けませんでした。どなたか解説お願いします。 次のような関数が与えられている。ｃを定数として以下の設問に答えよ。 ｐ(ｘ)＝｛ｃ -１≤ｘ≤３ ， ０ それ以外｝ (１)関数ｐ(ｘ)が確率密度関数になるようにｃの値を求めよ。 (２)上記(１)の確率密度関数ｐ(ｘ)をもつ確率変数の期待値を求めよ。 (３)上記(１)の確率密度関数ｐ(ｘ)をもつ確率変数の分散を求めよ。 (４)上記(１)の確率密度関数ｐ(ｘ)をもつ確率変数がα以上の値をとる確率を、αを用いて表せ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率密度関数f(x)の積分を示す関数の名称
関数をどのように呼べばいいのか分からなくて困っています。 確率密度関数f(x)の[－∞≦X≦z]の範囲の積分を表す関数F(z)を次のように呼ぶのは正しいのでしょうか。 (1)累積分布関数 (2)累積確率関数 (3)累積密度関数 素人の質問ですみません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率密度関数について
次の確率密度関数について以下の問いに答えよ。 f(x) = (1/2) * e^(-|x|) (-∞ < x < ∞) (1) この分布の分布関数を求めよ。 (2) この分布の平均を求めよ。 (3) この分布の分散を求めよ。 という問題が解けなくて困っています。 e^(-|x|)は、eのマイナス絶対値ｘ乗という意味です。 (1)すら解けません。絶対値が入っていて、もうわけが分かんないです。 どなたかこの問題が解ける方いらっしゃらないでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
そうですね Ｎｏ．２６７１３５の質問内容を考えると 超関数の範囲で回答するのは間違っていますね ｙ＝｜ｘ｜は超関数の意味では微分可能ですがＮｏ．２６７１３５の質問者にそれを要求するのは少し無理がありますね 確率論はルベーグ積分を基礎にしていると思ったのですが ルベーグ積分不可能な分布関数をもつ確率変数というのは存在するのでしょうか？ 存在するような気がしますが・・・ もし知っていたら教えてください よろしくお願いします
補足
ルベーグ測度でない測度を人工的に作らないといけないのでできるでしょうがつまらないですね どうもありがとうございました