ポワソン過程の問題

質問

ポワソン過程の問題で困っています。どうしても解き方がわからなく、ネットや教科書も読み漁ったのですが出来なかったので、どなたか分かる方、どうかご解答を宜しくお願いします…！！

【問題】
発表会への来場者の数は，1分当たり2名のポアソン過程に従う．この発表会の来場者のα%が生徒，β%が教職員など生徒以外の大学関係者であり，残りが一般の人である．発表会で，10人の一般の人が来場した14時50分から16時20分までの90分の間に発表会に来場する全ての来場者の数の期待値(平均値)を計算すると154人であった．一方，90人の生徒が来場した16時30分から18時までの90分の間に発表会に来場する全ての来場者の数の期待値(平均値)を計算すると180人であった．この２つの結果から，来場者に占める生徒の割合α，生徒以外の関係者の割合βを決定せよ．

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

ポアソン過程において単位時間での平均(λ)が定まっているなら期待値は

λt

で計算できますよね。今、λ=2(と問題に書いてある)、時間90(分)ですから全体の期待値は

90λ=180

90分における生徒の来場期待値は180α、教職員は180β、一般が180(1-α-β)
ただし、あくまで確率に基づく期待値なので実際に観測されたら計算するまでも無く
その数字を使えと言うことでしょう。
最初は一般が10人と定まっているので

180α+180β+10=180(α+β)+10=154
α+β=0.8

一方は生徒が90人と定まっているので

90+180β+180(1-α-β)=180(1-α)+90=180
1-α=0.5
α=0.5

よってβ=0.3

教科書に書いてあると思いますが、ポアソンにおける期待値は

Σ[k=1,∞]k*exp(-λt)*(λt)^k/k!=exp(-λt)Σ[k=1,∞](λt)^k/(k-1)!
=λt*exp(-λt)Σ[k=1,∞](λt)^(k-1)/(k-1)!　　　h=k-1とすると
=λt*exp(-λt)Σ[h=0,∞](λt)^h/h!
ここでテイラー展開よりΣ[h=0,∞](λt)^h/h!=exp(λt)
よって期待値は
=λt*exp(-λt)*exp(λt)=λt

となります。

お礼

とても分かりやすい書き方でとても参考になりました。文字の多い式ばかりで混乱してしまう事が多かったのですが一つ一つ見てみるととても納得のいく導き方でした。本当にありがとうございました。

回答No.2

age_momo

意味の取り難い問題ですね。
想像ですが

＞10人の一般の人が来場した14時50分から16時20分までの90分の間に発表会に来場する全ての来場者の数の期待値(平均値)を計算すると154人であった．

一般の人の来場は10人と確定しているので期待値の計算は

(α+β)90λ+10=154

同様に

(1-α)90λ+90=180

から、α=0.5、β=0.3　とするんではないでしょうか？

お礼

ご回答をありがとうございます。とても分かりやすく、数字も綺麗なのでそれが答えのような気がします。ただ、なんとなくそうなるんだろうという所まではイメージとして掴めて来ていて、あと一歩で完全に納得できそうなのですが答えが出るまでの詳細な式の展開に不安が残って困っています。具体的にはλに何が入って、どのような計算の後にαとβが出たかという事です。初歩的な問題で申し訳ありませんが、式の展開を教えていただけると助かります。

回答No.1

Mr_Holland

単純に考えると、
全体で154人と予測されたときに一般が10人だったのだから、一般の割合は6.5％。
また、全体で180人だったときに生徒が90人だったのだから、生徒の割合αは50.0％。
そこから生徒以外の大学関係者の割合β＝43.5％。
となるのだけど、単純すぎるかな？

ただ、ポアソン過程がP(k)＝exp(-tλ)(tλ)^k／k！で表されるとすると、期待値はtλで表せるので、
16時30分～18時の時間帯：　　　90λ＝180　∴λ＝2
でいいのだけれど、
14時50分～16時20分の時間帯：　90λ＝154　∴λ＝1.71（≠2)
となり、「1分当たり2名のポアソン過程」から外れてしまうのが気になるよね。
たまたま最初の時間だけ「1分当たり2名」から外れていたということだろうか。

お礼

早い回答を本当にありがとうございます。自分も単純にそうは考えてみたのですがやはり納得がいかず、もっと綺麗に解けるような気がするので困っています。154と10という数字が分かっているので、144辺りを使って解くかとか考えては見たのですが、なかなかしっくりとくる数字が出てくれません。もう少し解く方法を考えてみようと思います。