円錐の体積の公式の導き方がわかりません

質問

公式　Ｖ＝１／３ｈπｒ２を、中学生にもわかるように、導き方を教えていただきたいのです。　特に、１/３をかけるところが、納得いかないのです。　（１/２じゃないのはなぜ？）

回答No.5

nozomi500 · ベストアンサー

こんな模型は？
円錐は難しいから、まず、角錐から。
立方体の中心（重心）から各頂点を結ぶ直線と、各辺でできる「四角錐」が6つできます。合同だから、とうぜん、体積は立方体の1/6。
「立方体の半分」の直方体は、底面は四角錐と同じ。高さは四角錐と同じ。体積は四角錐の「３倍」になりますね。四角錐のほうから見れば1/3。これで「底面積×高さ÷3」になる。

あとは「比」で。
（同じ高さの円錐と角錐を比べて、どの断面（底面に平行）でも面積の比は同じだから、その積み重ねである体積も、角錐と同じような法則が成り立つはず。）

「積分」で「ほんとに1/3」だと理解できた時の感動、というのも捨てがたい・・。

しかし、かつて「小学校」で「円錐の体積」が扱われた事があったけど、子どもに理解させるのはともかくとして、「文系」出身の教師自身が理解できてなかったんじゃないかな。

お礼

実は私も、文系出身の元教師でして・・・数学が苦手なのに、中１の息子に教えようとするのが無理かも。公式の導き方を、わかりやすく説明なんて出来ず、『なるものはなる』と伊東四郎のようになっています・・・角錐で考えるとわかりやすいですね。ありがとうございました。

回答No.9

taktta

底辺の面を十分細かく3関係で分割し近似しておきます。
その頂点と細分割した底辺の各３角形を結びます。
すると１つずつ３角錐ができます。
円錐はそれを集めた体積になります。
Σ（３角錐）＝Σ各（１／３小３角形の面積＊高さ）＝
１／３(Σ小３角形の面積）＊高さ＝答え
となります。
角錐を持ち出して回答している方はエレガントだと思いました。

お礼

Σの計算って、何でしたっけ。私、文系でほんとに数学苦手なので、Σって見た覚えがある程度なんです。すみません・・・　　的確な解答をありがとうございました。

回答No.8

Asihana

模型について、
「水を入れる」というのは、見ためで印象的なのですが、
「ほんとうに１／３」なのか「およそ１／３」なのかをちゃんと区別する必要があります。「円周率はおよそ３」の時代ですから。
No.７の模型って、けっこう誤差がでそうじゃないですか？袋に水滴もつきますし。

No.５の模型は、画用紙でもつくれますが、「特殊な四角すい」で「一般の四角すい」、さらに「一般的な錐体」という流れが納得できるかどうか・・。

お礼

いろいろとアドバイスいただき勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.7

I-love-manabee

全然回答になっていないですが、答えさせていただきます。
模型を作るというのは出てきますが
模型の作り方を工夫してはどうでしょうか？
まず、長方形のやわらかい透明なプラスチックを用意します。
下から3分の1の所に直線を引きます。
プラスチックを丸めて円筒をつくります。
円筒を作ったら、底をなにかでふさぎます。(ダンボールを円筒に切ってはるのもいいでしょう!)
その中に透明な市販で売っているようなビニール袋を入れます
袋の中に水をいれます。(3分の1の線まで)
なるべく空気を抜くことを心がけながらビニール袋に結んで(結びめはなるべく真中にくるように結びます)
そしてその袋がした離れないように、底に両面テープを張り、ビニールと底を固定させて、ビニールの結び目をを引っ張れば、引っ張れば、多分円錐になると考えられます。そして結び目を離せば、また3分の1のメモリまでもどります。
これは、実際試したことがないのですが、多分これで中学生にわかっていただけると思います。

お礼

視覚に訴えるには、とても解りやすいですよね。色水でやるときれいかも！　実際作ると難しいかもしれないけど、こんな教材が学校の資料室あたりにありそう・・・ありがとうございました。

回答No.6

kumagoro-

パップス・ギュルダンの定理を使うのはどうですか？
この定理の証明となるとまた面倒くさくなりますが・・・。

参考URL：

http://www2.csc.ne.jp/~okok/santa-kazuko/santa-kazuko1994/1994-12.html

お礼

恥ずかしながら、わたしはこの定理の名前すら聞いたことないけど、子供達はこんな難しいことを使って問題を解いていたなんて驚きました。　ありがとうございました。

回答No.4

echoes

根本的に解決にならないですけど、僕は中学生の家庭教師してますが、積分とまでは言わないような積分を教えちゃってますよ。ごくごく簡単に、感覚的理解しか導けませんが、高校数学の無限も実質的に感覚理解までですし、あんまり細かいことまで追求せずに教えてやってもいいと思ってます。
　まぁ、『無限の足し算』というくらいまでですが・・・。

　平面図形の面積は、モデルを組み立てることで理解できますが、立体の体積はモデルをもってしても理解するのは難しいように思われます。

お礼

お礼が遅れました。朝早くにお手数かけました。無限の足し算という言葉が、中学１年の息子にピンと来たようです。ありがとうございました。

回答No.3

wogota

円の面積（πr^2）を利用して円錐を求めることができるのはご存知かと思います。
（直線式y=(r/h)xを用いて、0からhまでの∫πy^2dxで求められます。）
当然、積分は中学では習わない事柄ですので、導き方を導出するのは難しいと思います。

となると、積分の部分を「半径が徐々に大きくなる、高さが小さい円柱を足し合わせる」
に変えていくことになるかと思います。当然、これだと、1/3を導出できないので、
「どんどん1/3に近づいていく」とぼかしていくしかないと思います。
実際に計算すると、高さhを4分割して、
(h/4)π(r/4)^2+(h/4)π(2r/4)^2+(h/4)π(3r/4)^2+(h/4)πr^2
=πhr^2×(1^2+2^2+3^2+4^2)/(4^3)
=πhr^2×0.46875
高さを8分割して、
(左辺式は省略)=πhr^2×0.3984375
高さを16分割して、
(左辺式は省略)=πhr^2×0.365234375
と、「徐々に、一番右の値が0.3333・・・に近づいていってますね」と
考えるしかないと思います。

(1^2+2^2+・・・+n^2)/(n^3)の値を計算するのは、パソコンで簡単にできます。

あまり、的を得ていないと思いますが、いかがでしょう？

お礼

お礼が遅れました。　数学が苦手なのに、中学１年の息子に説明しようとがんばっていたら、寝てしまいました・・・高さを１６分割しても、0.365・・・というところにおどろきました。　詳しく教えていただきありがとうございました。

回答No.2

westpoint

こんなページがありますよ。これも結構難しいけど・・・

↓

参考URL：

http://venusv.kek.jp:8000/uehara/en1.html

お礼

このページ、さっきどこかで見かけて、見失って困っていたんです！　ありがとうございました。　それにしても、やっぱり難しいですよね・・・

回答No.1

hugy

模型を自分で作らせる！

回答ではなくてごめんなさいm(_ _)m

お礼

早々にありがとうございました。　模型を作って、水を入れたらわかるかしら・・・積分を使わずに説明するのって、難しいですよね。