線形代数～ビネー・コーシーの公式～

質問

ビネー・コーシーの公式を分かりやすく証明してください。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

Rossanaさんこんにちは。
Binet-Cauchy の公式とはこれのことですね。

Σ{1≦i≦n} (a_i b_i) Σ{1≦j≦n}(c_j d_j)
　　　－ Σ{1≦i≦n}(a_i d_i) Σ{1≦j≦n} (b_j c_j)
　　　　 ＝ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i b_j － a_j b_i)(c_i d_j － c_j d_i ) 　　…(1)

こんな公式があったんですね。恥ずかしながら私も知りませんでした(^^;

さて(1)式の証明です。

(1)の右辺を展開すると

Σ{1≦i＜j≦n} (a_i c_i b_j d_j ＋ a_j c_j b_i d_i )
　－ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i d_i b_j c_j ＋ a_j d_j b_i c_i ) 　　…(2)

となります。一方(1)の左辺の最初の項は

Σ{1≦i≦n} (a_i b_i) Σ{1≦j≦n}(c_j d_j)
＝ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i c_i b_j d_j) ＋ Σ{1≦i＜j≦n} (a_j c_j b_i d_i )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ Σ{1≦i＝j≦n} (a_j c_j b_i d_i )
＝ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i c_i b_j d_j ＋ a_j c_j b_i d_i )
　　　　　　　　　　　　　　＋ Σ{1≦k≦n} (a_k c_k b_k d_k ) 　　…(3)

と、展開されます。同様に２つめの項も

Σ{1≦i≦n}(a_i d_i) Σ{1≦j≦n} (b_j c_j)
＝ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i d_i b_j c_j ＋ a_j d_j b_i c_i )
　　　　　　　　　　　　　　＋ Σ{1≦k≦n} (a_k d_k b_k c_k ) 　　…(4)

と、展開されるので(3)-(4)を計算すると(1)式になります。

お礼

行列なのでかなり書きづらいところ回答ありがとうございました。でも、まだよく分かりません。

補足

Σ{1≦i≦n} (a_i b_i) って何を表しているのですか？

回答No.3

oodaiko

>これってもしかして行列式のビネー・コーシーの公式ではなく別のビネー・コーシーの公式では？
私が検索した限りではBinet-Cauchyの公式とはこれなのですが…
なんらかの行列式を書き下せば(１)式の表現になると思うのですが
Rossanasさんの読んだ本に出て来るビネー・コーシーの公式とはどんな式ですか。
補足をおねがいします。

お礼

何度もすいません。補足分かりにくいかもしれませんがよろしくお願いしますｍ（＿＿）ｍ

補足

「」は行列の括弧を意味しています。
例えば、
｜　　　　　 　 「2 10　｜
|　「1 3 5 7 　　4 12　｜＝｜1 3| |2 10| |1 5|
｜9 11 13 15」 6 14　｜　｜9 11||4 12|+|9 13|
｜ 　　　　　　　 8 16」｜

|2 10| 　　|1 7| |2 10| | 3 5|| 4 12|
|6 14|　+　|9 15| |8 16| + |11 13|| 6 14|

| 3 7||4 12| | 5 7||6 14|
+ |11 15||8 16| + |13 15||8 16|

言葉で表現しますと、ｍ行ｎ列の行列にｎ行ｍ列の行列を乗ずるとｍ行ｍ列の行列が得られますが、この正方行列の行列式を元の二つの行列の小行列式で展開する公式のことです。これは編集するとずれてしまってますが、右にずれして下さい。２×４と４×２の行列の行列式です。

回答No.2

oodaiko

＞Σ{1≦i≦n} (a_i b_i) って何を表しているのですか？
a_i×b_i を添字iについて1からnまでたすと言う意味です。ようするに通常のΣの下にi=1,上にnと書いた時と同じ意味です。
（念のため書き添えておくとa_iというのは通常の添字記号。つまりaの右下に小さいiが書いてあるやつです）

同様に
Σ{1≦i＜j≦n}
とは添字iとjについて1からnまで、ただしi＜j となる組合せのみとってたし合わせる意味です。
（わからなければn=4くらいで考えてみて下さい。i,jの組が(1,2)(2,3)(3,4)となる場合のみたし合わせるということです）

＞でも、まだよく分かりません。
どこがわからないのでしょうか。
(3)式を展開する辺りかな

Σ{1≦i≦n} (a_i b_i) Σ{1≦j≦n}(c_j d_j)　　…(5)
を展開すると
Σ{1≦i≦n,1≦j≦n} (a_i b_i c_j d_j)　　…(6)
となることは大丈夫でしょうか
（念のためさらに書き添えておくとΣ{1≦i≦n,1≦j≦n} とは添字i,jをそれぞれ1からnまで、すべての組合せについてたし合わせる意味です）

ところでこの場合の添字i,jの組を考えると
i＜j
i=j
j＜i
の３つのパターンに分類できます。そこで添字の組をこの３つのパターンに分けて考えると(6)式は

Σ{1≦i＜j≦n} (a_i c_i b_j d_j) ＋ Σ{1≦i＝j≦n} (a_i c_i b_j d_j )
　　　　　　　 ＋ Σ{1≦j＜i≦n} (a_i c_i b_j d_j )　　…(7)
となります。(7)式の第２項は結局添字が１種類しかないのと同じですから添字をkと書き換え、第３項はiとjを入れ換えて
Σ{1≦i＜j≦n} (a_i c_i b_j d_j) ＋ Σ{1≦i＝j≦n} (a_i c_i b_j d_j )
　　　　　　　 ＋ Σ{1≦i＜j≦n} (a_j c_j b_i d_i )　 　　　　　　　　　　　
＝ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i c_i b_j d_j ＋ a_j c_j b_i d_i )
　　　　　　　　　　　　　　＋ Σ{1≦k≦n} (a_k c_k b_k d_k ) 　　…(8)
となります。 これが(3)(4)式の変形です。

それともこれだけの内容でどうして(1)式が示せたことになるのかわからない、ですか？
ならばNo.1の回答に従って式変形をまとめてみましょう。要するに(1)式の右辺と左辺が一致すれば良いのですから(1)式の左辺から出発します

Σ{1≦i≦n} (a_i b_i) Σ{1≦j≦n}(c_j d_j)
　　　－ Σ{1≦i≦n}(a_i d_i) Σ{1≦j≦n} (b_j c_j)
＝ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i c_i b_j d_j ＋ a_j c_j b_i d_i )
　　　　　　　　　　　　＋ Σ{1≦k≦n} (a_k c_k b_k d_k ) 　　 …(3)式より
　－ ( Σ{1≦i＜j≦n} (a_i d_i b_j c_j ＋ a_j d_j b_i c_i )
　　　　　　　　　　　　＋ Σ{1≦k≦n} (a_k d_k b_k c_k ) 　) 　 …(4)式より
＝ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i c_i b_j d_j ＋ a_j c_j b_i d_i )
　　　　　　　　　　　　　　＋ Σ{1≦k≦n} (a_k c_k b_k d_k ) 　　
　－ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i d_i b_j c_j ＋ a_j d_j b_i c_i )
　　　　　　　　　　　　 － Σ{1≦k≦n} (a_k d_k b_k c_k ) 　
＝ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i c_i b_j d_j ＋ a_j c_j b_i d_i )
　－ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i d_i b_j c_j ＋ a_j d_j b_i c_i )
＝ Σ{1≦i＜j≦n} (a_i b_j － a_j b_i)(c_i d_j － c_j d_i ) 　 …(2)式より

というわけで(1)式の右辺が導かれました。

お礼

二度も回答本当にありがとうございます。苦労かけてます
m(__)mこれってもしかして行列式のビネー・コーシーの公式ではなく別のビネー・コーシーの公式では？

補足

行列の問題をここで質問するのはやはり不可能だと思い、もう締め切ることにします。自分でいろんな本を調べてみます。ご丁寧に三度の回答ありがとうございました。感謝の気持ちを込めポイントを差し上げたいと思います。