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f(2x)=2f(x) の両辺を微分すると 2f'(2x)=2f'(x) となることの証明
f(2x)=2f(x) の両辺を微分するとどうなるか？ 答えは 2f'(2x)=2f'(x) でした。なんとなくそうなることは わかります。でも証明ができません。具体例を作って実験して 成功しても、成功例がひとつあることは証明にはなりませんよね？ どうやったら証明、あるいは納得できるでしょうか？
- okwave1988
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導関数の定義式から f(2x)の導関数 ＝lim[h→0]{f(2(x+h))-f(2x)}/h ＝lim[h→0]{f(2x+2h)-f(2x)}/h ＝lim[h→0] 2{f(2x+2h)-f(2x)}/2h （2h＝k とおくと） ＝lim[k→0] 2{f(2x+k)-f(2x)}/k ＝2f ' (2x)
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- usatan2
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f(2x)=2f(x) を f(2x) - 2f(x) = 0 という方程式だと思って、微分したらどうですか？
お礼
なんだかすごく難しくなったような気がします。 たぶんそれができるのはこの問題を理解できる 以上の人のようなきがします・・・ 回答ありがとうございました。
- tatsumi01
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> f(2x)=2f(x) この式の意味をどう理解していますか。微分するといっている以上 f は関数ですね。 しかし、f が任意の関数だったら上式は成立しません。"f(x)=3x+5" でも何でも良いけれど、成立しない関数が大半でしょう。 つまり、"f(2x)=2f(x)" はある制限を満たす関数を定義したことになっています。そのような関数では "2f'(2x)=2f'(x)" が成立するのです。左辺の微分は皆さんが示されている通りです。
お礼
基礎的だけどすごく重要なことをおっしゃっているような 気がします。でもなんか理解できないというか届かない感じです。 こういう日本語苦手です・・・ もう少しでわかりそうなんですけれども。 回答ありがとうございました。
- masudaya
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右辺は当たり前なので左辺だけ f(2x)で2x=uとすると d f(u)／dx=du/dx*df(u)/du＝2*f(u)=2f(2x) です.
お礼
回答ありがとうございます。 納得できました。
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お礼
ｘが２ｘになっただけですごく難しく感じます。 でも、教科書レベルで説明できるのですね。 納得しました。回答ありがとうございました。