ガウスの法則の応用 点電荷による電界

質問

ガウスの法則の応用なのですが、、

問）原点に点電荷q、さらに電荷密度が、P(r)＝-qa(e^-ar)/4π(r^2)で与えられる電荷が共存するとき、電界を求めよ。(a>0とする)

という問題が解けません(>_<)
点電荷による電界と、電荷密度を積分したものを足すのかなとも思うのですが・・・・
どなたか解き方を教えて下さいm(_ _)mお願いします。

回答No.3

orangeapple55 · ベストアンサー

∫P(r)*(4πr^2)drについてですが、
まず、(4πr^2)drというのは、(4πr^2)が表面積でdrが厚みになっていると考えると、半径r、厚さdrの殻の体積になっているということはわかりますか？それに電荷密度をかけると半径r、厚さdrの殻がもつ電荷になります。
んでこの殻を半径0から半径rの殻まで、どんどん積み重ねていくと球になるのはわかりますか？この積み重ねるというのが積分ですね。
例えばタマネギは皮が重なってできてますよね。
そのタマネギの皮１枚分がもつ電荷がP(r)*(4πr^2)drです。
それを積分してやれば∫P(r)*(4πr^2)drとなって、これがタマネギ(球)の持つ電荷になるわけです。
例えば電荷密度が一定だとすると
∫P(r)*(4πr^2)dr=P∫4πr^2dr=P*(4/3)πr^3
となって密度×球の体積になってますね。
しかしこの問題の場合はrごとに電荷密度が変わるので、rごとに足す、つまり積分しないとダメなんですね。

＞(1/4πε)*∫r(ベクトル)P(r)/(r^3)dv
というのはつまりクーロンの法則から電界を求めるということですね。
これでも間違いではないのですが、これだと積分が面倒ですよね。
そこでガウスの法則という便利なものが使われておるのです。

＞答えがE=q［｛1+(a^2)｛(e^-ar)-1)｝］/4πεr^2となったんですが
えっと
∫e^(-ar)dr [r:0→r]　＝　(-1/a)(e^(-ar)-1)
なので答えは多分
q*e^(-ar)/4πεr^2
になるんじゃないかと思います。

間違ってたらごめんなさいm(_ _)m
わからんとこがあったらまた補足してください。

お礼

度々の詳しい説明、ありがとうございました！！
あやふやだった所も理解できました☆
課題も無事提出できまして、答えも合ってました！
本当に助かりました。どうもありがとうございました(_ _*)！

回答No.2

orangeapple55

ごめんなさい、NO1の解答をしたものです。

＞点電荷による電界と、電荷密度を積分したものを足すのかなとも思うのですが・・・・

電荷密度を積分したものは電荷ですから、それと電界を足すのはやっぱりまずいですね。。。
つまり「点電荷」と「電荷密度を積分したもの」を足したものを、電荷、つまり右辺としてガウスの法則を使えばよいわけです。

２度も書き込んでごめんなさいm(_ _)m

補足

丁寧な回答ありがとうございます！！！
なるほど、「電荷密度の積分が電荷」という初歩的なことが完全に理解できてなかったです。たしかに、電荷と電界を足すのはマズいですよね。

あの、NO１の方で質問があるのですが、右辺が、q＋「∫P(r)*(4πr^2)dr」となる、「」の中が、どうしてそうなるのかわからないんです・・・
これはつまり、電荷密度を積分して電荷を導く方法がわかってないってことなんでしょうか(>_<)

点電荷と、もう一つの電荷(電荷B)について、別々に電界を求めてそれを足すとなると、電荷Bの方の電界は、(1/4πε)*∫r(ベクトル)P(r)/(r^3)dvという風になるのかなと思ったので、この２つの式の違いがイマイチ理解できないのです・・・

orangeapple55さんの書いて下さった式を解いてみた所、答えがE=q［｛1+(a^2)｛(e^-ar)-1)｝］/4πεr^2となったんですが、これは合ってるんでしょうか？？

また質問ばかりですみませんm(_ _)m答えて頂けるとうれしいです。。

回答No.1

orangeapple55

こんばんは。

＞点電荷による電界と、電荷密度を積分したものを足すのかなとも思うのですが・・・・

その考え方でいいと思いますよ。

ガウスの法則は言葉で書けば、
ε*(電界の面積分)＝（面の内側にある電荷）
ですが、
原点からrの距離の電界を求める場合は、原点を中心とした半径rの球面を考えればいいので、
左辺は(4πεr^2)*Eですね。
そんで右辺はまず、qがありますね。
それと電荷密度を球面内で積分したのを足せばいいです。要するに
右辺＝q+∫(4πr^2)*P(r)dr=q-qa∫e^(-ar)dr　[r:0→r]ですね。
この積分は簡単なのですぐできると思います。
がんばってね。