• ベストアンサー

3次元空間の回転行列

３次元空間上の点A(X,Y,Z)と点B(X',Y',Z')があるとします。ただし、点Bは、点Aを原点Oを中心とする３次元空間の回転をさせることによって得られる点とします。 このAをBへと回転させる行列を、特に以下のように考えて得られる回転行列として導出する方法を教えてください。 O,A,Bによって作られる平面に直交し、原点を通る軸を回転軸として、それを軸にAを∠AOB回転させる。 一応自分なりに考えたこの回転行列を求める方法としては、まず ベクトルOA、OBに対してシュミットの直交化を用いて新たな正規直交基底、Vx、Vy、Vzを求めます。ただし、はじめのVxの導出にはOAを用い、VzはVxとVyの外積を計算しました。 次にP=(Vx,Vy,Vz)として座標変換の行列Pを作ります。 そして、求める行列Wを W = PMz(P^-1) (Mzはz軸まわりに∠AOB回転させる行列、P^-1はPの逆行列) として導出しました。 このようにして解く方法を考えたのですが、これは正しいのでしょうか？ また、これ以外にもっとスマートに解く方法があれば教えてください。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

「四元数」なんて, 調べてみます?

その他の回答 (1)

  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1

その方法でもいいと思いますが． もっと単純に １． 点Aをx軸を中心に回転して，z座標がZ'になるようにする． ２． １で求めた点をさらに，z軸を中心に回転して，x座標とy座標をX'，Y'にする． とかでもいいです．

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 3次元空間での2直線の交点の求め方

    悩んでおります．御力添えを願います． 以下の条件下にて，２つの直線式を求め，その交点を求めようとしております． １．点ｐ（a0,b0,c0）と点q(a1,b1,c1)の座標は既知． ２．点s（d,e,f）は，座標は未知であるが，点p,点qへ向けて2つの直線を延ばしており，それぞれの直線の傾きが既知． 以上の条件をもとに，点s（d,e,f）の座標を求めようとしています． 私の考えた手法は，以下の物ですが上手くいきません. １．点sから伸びる2つの直線の方向余弦を求める． 例）vx = r * cosα，vy = r * cosβ， vz = r * cosγ (上記の様に２点へと伸びる直線の方向余弦をそれぞれ求める) ２.求めた方向余弦と，点p,点qを用いて２つの直線式を表す． 例）x = a0 + vx0 * t, y = b0 + vy0 * t, z = c0 + vz0 * t x = a1 + vx1 * s, y = b1 + vy1 * s, z = c1 + vz1 * s 　　 ３．誤差を考慮し，２直線間の距離が１番小さくなる２点を求める． 例）（距離）^2 = {a0 + vx0 * t - a1 - vx1 * s}^2 = {b0 + vy0 * t - b1 - vy1 * s}^2 = {c0 + vz0 * t - c1 - vz1 * s}^2 　 　　上記の式をs,tに関して偏微分してやり，それぞれを０として連立　方程式を解き，s,tを求める． 　　求めたs,tを各直線式に代入してやり，２直線間の距離が最も短く　なる２点を求める． ４．その２点の線分上の中点を求め，点s（d,e,f）とする． 上記手法で求めようとしましたが，どうも点sの座標が求まりません． 点sで方向余弦を求めるのが駄目なのでしょうか？ ２直線間の距離が最も短くなる２点の求め方が駄目なのでしょうか？ 幾何学初心者なため，混乱しております． 宜しくお願いいたします．

  • 直交変換と回転は同じものなの？

    座標の回転が直交変換なのは任意の回転がｘ軸の回転とｙ軸の回転とｚ軸の回転の組み合わせであることから理解できます しかしその逆が分からないのです つまり直交変換は座標の回転なのかどうかです ３次元直交座標Ａと３次元直交座標Ｂがある 空間に点Ｐがある ＰのＡによる座標を（ｘ，ｙ，ｚ）＝ａ＾Ｔとし ＰのＢによる座標を（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝ｂ＾Ｔとする そこで質問します 「Ｕ＾Ｔ・Ｕ＝Ｅかつ｜Ｕ｜＝１である３次正方実行列Ｕがあり任意のＰについてａ＝Ｕ・ｂならばＢはＡを原点を中心に回転したものである」 は正しいのですか？ 正しければどうしてなのですか？ 正しくなければどうしてなのですか？ よろしくお願いします

  • 電磁気学の問題

    質問させていただきます 図のように直交座標系(x,y,z)をとり、静電場E↑をy軸の方向に、静電場B↑を z軸の方向に選ぶ。 荷電粒子の速度Vは V↑＝Vx↑＋Vy↑＋Vz↑と分解できるとする このときx,y,z方向の運動方程式をたてよ。 ただし磁束密度の大きさをB 電場の強さの大きさをE 速度ベクトルの大きさをVx,Vy.Vzとする またE=0で初速度を Vx=V0,Vy=0.Vz=0とする。 この粒子はどの方向にどんな運動をするか？ この問題なのですが どなたか教えてください！！

  • 3次元での回転による座標変換

    3次元での回転による座標変換に関して質問があります． X軸，Y軸，Z軸の直交座標系があるとします． この座標系において，ある位置ベクトル(a1,b1,c1)がX軸，Y軸，Z軸と成す角度は，θx，θy，θzは，ベクトルの内積から算出可能だと思います． θx=a1/sqrt(a1^2+b1^2+c1^2) θy=b1/sqrt(a1^2+b1^2+c1^2) θz=c1/sqrt(a1^2+b1^2+c1^2) X，Y，Zの直交座標系を回転させて，この位置ベクトルの向きを基準としたX'軸，Y'軸，Z'軸による新しい直交座標系を設定するには，どのようにすればよいでしょうか？ θx，θy，θzと各軸での回転角度は違うものという認識でいいのでしょうか？ 元の座標系において，各軸回りに順番に回転させればいいかと思うのですが，どうもイメージがつかみきれません． よろしくお願い致します．

  • 電磁気学の問題です（荷電粒子の運動）

    図のように直交座標系(x,y,z)をとり、静電場E↑をy軸の方向に、静電場B↑を z軸の方向に選ぶ。 荷電粒子の速度Vは V↑＝Vx↑＋Vy↑＋Vz↑と分解できるとする このときx,y,z方向の運動方程式をたてよ。 ただし磁束密度の大きさをB 電場の強さの大きさをE 速度ベクトルの大きさをVx,Vy.Vzとする この問題なのですが どなたか教えてください！！

  • 線形代数　直交行列　回転行列

    直交行列と回転行列について質問させて頂きます。 直交行列の定義は、 行列Aの転置行列がAの逆行列に等しい行列。 つまり、t^A=A^-1。よって、t^AA=At^A=Eが成り立つ。 このとき、行列Aは直交行列である。 また、直交行列の行列式は1である。 また、以前直交行列における「直交」の意味を質問 させて頂きました。 ご回答頂いた内容は、 ＞直交行列では A が含む列ベクトルが互いに ＞直交し、大きさが全て 1 になります。 ＞直交行列では A が含む行ベクトルが互いに ＞直交し、大きさが全て 1 になります。 です。ご回答頂いた内容は理解できています。 回転行列の定義 Wikipediaによれば、 回転行列は、常に実数を成分とする正方行列である。 代数学的には、n-次元空間での回転行列はn × nの直交行列であり、 その行列式は1である。 回転行列は常に実数を成分とするとあるのですが、 これはなぜなのでしょうか？ 直交行列におけるベクトルの基礎体はCだが、 回転行列におけるベクトルの基礎体はRに限定 されるのでしょうか？ 列成分で表される複素数を含む3×3直交行列があったとします。 第一列の成分が、 （a） （b+ic） （d） で表される場合の第一列の大きさ（ノルム）は、 （a） （b+ic） （d） と （a） （b-ic） （d） の内積の平方根と言う認識でOKでしょうか？ 直交行列であるが回転行列ではない場合というのはあるのでしょうか？ 回転行列だが直交行列でない場合というのは存在しないと思います。 以上、質問文が読みづらいかと思いますがご回答よろしくお願い致します。

  • 三次元回転行列

    ２つの三次元単位ベクトルa,bがあるときに aを回転させてbにあわせるような回転行列を求めたいんですが うまく求められません。 どのように解けば回転行列を求められるんでしょうか？

  • ３次元空間におけるアフィン変換について

    ３次元空間で直線を軸とした回転運動している物体の座標の特定をしたいと考えています。 最終的にX、Ｙ、Ｚ軸を軸とする回転角度を得ることができればと思っています。 具体的に以下のような数学の問題があったとして、 どう解いていくかを経緯も含めて教えていただきたいのです。 ［設問］ ３次元空間に点Ａ(x,y,z) = (0,0,0)と点Ｂ(100,-100,100)の２点がある。 また直線ＡＢに含まれない点Ｃ(50,-50,0)がある。 点Ｃを含み直線ＡＢに直交する平面と直線ＡＢとの交点をＤとし 点Ｃが線分ＣＤを半径として当該平面上の円を一定の速度で回転している。 このとき点Ｃの円周上の回転角度をａとする時、 点Ｃのｘ、Ｙ、Ｚ軸それぞれを軸とした回転角度をａを用いて表しなさい

  • 行列の回転とオイラー角についての問題です

    （１） ２　　２　　－１ ２　－１　　２　　＝P　　行列Pより定まるR^3上の回転移動の回転軸を求めよ １　－２　－２ 　　　 （２）行列Qのオイラー角を求める ３　-１　２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　０ ３　-２　１　＝Q、　行列Sは（Z軸周りの回転）（Y軸周りの回転）（Z軸周りの回転）、　e＝０　　 ２　２　 ３　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　１ で定める 1:Se と ^teSを求めよ 2:Qe と ^teQを求めよ これらの問題が解けません。どれか１つだけでもご教授お願い致します。

  • Ｚ軸の周りを回転している速度に関する問題です。

    物理数学についての質問です。円筒座標系と速度の問題です。 ｚ軸の周りに一定の書く速度で回転している円盤を考える。このとき角速度ベクトルは（０，０，ω）で与える。 (1)円筒座標系（ｒ，θ，ｚ）における円盤の速度 ｖ＝（Ｖｒ，Ｖθ，Ｖｚ）をωを使って表せ。 (2)直角座標系（ｘ，ｙ，ｚ）における円盤の速度 ｖ＝（Ｖｘ，Ｖｙ，Ｖｚ）をωを使って表せ。 (3)角速度ωは ω＝1/2×（∂Ｖｙ/∂ｘ － ∂Ｖｘ/∂ｙ） で表せることを示せ。 以上のような問題なのですが、まったく分かりません… どなたか教えていただけるとありがたいです・・

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する