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直交変換と回転は同じものなの?

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お礼率 41% (79/189)

座標の回転が直交変換なのは任意の回転がx軸の回転とy軸の回転とz軸の回転の組み合わせであることから理解できます
しかしその逆が分からないのです
つまり直交変換は座標の回転なのかどうかです

3次元直交座標Aと3次元直交座標Bがある
空間に点Pがある
PのAによる座標を(x,y,z)=a^Tとし
PのBによる座標を(X,Y,Z)=b^Tとする

そこで質問します
「U^T・U=Eかつ|U|=1である3次正方実行列Uがあり任意のPについてa=U・bならばBはAを原点を中心に回転したものである」
は正しいのですか?
正しければどうしてなのですか?
正しくなければどうしてなのですか?

よろしくお願いします
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回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

余談(予断)ですが nuubouさんが他の方に回答していらっしゃるのを拝見すると、 多分ご自分で御考えになったほうが早いのではないか と思ってみなさん回答されない場合が多いのではないでしょうか? 本題(?)です。 たとえば回転の属性を以下のように (0)原点は原点に移される。 (1)長さが保たれる。 (2)直交関係が保たれる。 (3)角の向きが保たれる(軸の反転のような操作は含まれな ...続きを読む
余談(予断)ですが
nuubouさんが他の方に回答していらっしゃるのを拝見すると、
多分ご自分で御考えになったほうが早いのではないか
と思ってみなさん回答されない場合が多いのではないでしょうか?

本題(?)です。
たとえば回転の属性を以下のように
(0)原点は原点に移される。
(1)長さが保たれる。
(2)直交関係が保たれる。
(3)角の向きが保たれる(軸の反転のような操作は含まれない)。
と考えてそれと条件式の関係を考えます。
(1)、(2)については U^T U = E が相当することはすぐ分かります。
(3)が |U| = 1 に相当するのですがこれは、うーん
行列式の性質からそうなんだといえなくもないと思います
(行や列を入れかえると符号が逆転するという性質)。
ただ、回転を2つの軸の間の回転に分解して(オイラー角のように)
考えればわかるように、その分解したどの操作においても|U| = 1が保たれます。
というような具合に考えればいいのではないでしょうか?
x,y,z軸方向の単位行列の変換後の関係を考えれば
(0)~(3)を満たすような変換は回転しかないのではないでしょうか?
補足コメント
nuubou

お礼率 41% (79/189)

「UをU^T・U=Eかつ|U|=1である3次正方実行列
とし
[1      0      0]
[0 +cos(α) -sin(α)]≡A
[0 +sin(α) +cos(α)]
とし
[+cos(β) 0 +sin(β)]
[  0    1   0  ]≡B
[-sin(β) 0 +cos(β)]
とし
[+cos(γ) -sin(γ)  0]
[+sin(γ) +cos(γ)  0]≡C
[ 0      0      1]
としたとき
U=A・B・Cである3つの実数α,β,γが存在する」
は正しいのですか?
投稿日時 - 2002-02-08 15:17:10

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

>U=A・B・Cである3つの実数α,β,γが存在する」 >は正しいのですか? 多分正しいと思います(回転軸がxyzなのでややこしいと思いますが)。 例えば 回転の中心軸を(大円上を経由して)z軸にもっていき、 z軸を中心とした回転を行い それを元に戻すという操作をすればいいのではないでしょうか?
>U=A・B・Cである3つの実数α,β,γが存在する」
>は正しいのですか?
多分正しいと思います(回転軸がxyzなのでややこしいと思いますが)。
例えば
回転の中心軸を(大円上を経由して)z軸にもっていき、
z軸を中心とした回転を行い
それを元に戻すという操作をすればいいのではないでしょうか?
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