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三角関数の問題で・・・

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お礼率 70% (17/24)

こんにちは。下記の問題の、意味がわからないので回答お願いします。

【問題】
 xy平面においてP(cosx,sinx)、Q(1,1)をとる。
 ただし、-π≦x≦π. 180゜=π〔rad〕
 x≠0のとき、この2点P,Qを通る直線の傾きは?
 
「ただし」以下の意味がわからないので、解けないのです。
 πは、何を表しているのか?xの範囲は?この点を特にお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.5
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

なぜ、弧度法を使うのか?関数y=sinxの導関数を求めてみればわかる。理系なら、教科書に載っているので無視してくれ。

y’=lim(h→0){sin(x+h)-sin(x)}/h  …(☆)はいいよね。導関数の公式に、f(x)=sin(x) を当てはめただけだ。

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ  …(1)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ  …(2)
(1)-(2)より、

sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ   …(3)
  
α+β=A,α-β=B  とすると、(3)式は、
sin(A)-sin(B)=2cos{(A+B)/2}sin{(A-B)/2}  …(4) となる。

A=x+h,B=xを(4)式に代入すると、
sin(x+h)-sin(x)=2cos{(2x+h)/2}sin(h/2)  …(5)

(5)式を(☆)式に代入すると、
y’=lim(h→0){sin(x+h)-sin(x)}/h  …(☆)
  =lim(h→0)[2cos{(2x+h)/2}sin(h/2)]/h
  =2×lim(h→0)[cos{x+(h/2)}]sin(h/2)/h   …(★)

「弧度法」であらわされた関数y=sinx,y=x,y=tanxの3つのグラフは、0≦x≦π/2の区間で、0≦sinx≦x≦tanx の大小関係にある。等号成立は原点のみ。(注!この証明は、数3の教科書には、面積を使って証明してあったと記憶している。ところが、面積でやると絶対失敗するのである。これは、有名な循環論法である。つまり、証明が未完成なのに、教科書に載っているのである。長さでやると上手くいくのだが、かなり面倒なのでここでは省きます。了承されたい。ちなみに、大学の教養過程の微積には証明が載っていた。興味があるなら購入されたし)

0≦sinx≦x≦tanx (0≦x≦π/2)は高校では証明未完成なのに、教科書に載っているために、受験では多用される。なぜかというと、この不等式は基本関数が3つもそろっているからである。これを使えば、三角関数の面倒な大小比較がが一撃で解決する(こともある)。ちなみに、この不等式はじゃんじゃん使ってよい。三角関数を微分するために、証明不十分ながらこの不等式を使っているのに、三角関数の大小比較のために使うのを制限されるのは、理屈に合わないでしょ。


で本題に入るが、0≦sinx≦x≦tanx(0≦x≦π/2) を少し変形する。
x=0のとき、たしかに成立。
x≠0のとき、両辺をxで割ると、
0<(sinx)/x<1<(tanx)/x  …(6)
x≠0のとき、両辺をsinxで割ると、
0<1<x/sinx<1/cosx  ⇔1<cosx<(sinx)/x  …(7)

(6)と(7)あわせて、(0<x≦π/2)のとき、
1<cosx<(sinx)/x <1  …(8)
(8)式において、x→0 とすると、(sinx)/x →1 …(9)である。



さて、(★)式に戻るか。
y’=2×lim(h→0)[cos{x+(h/2)}]sin(h/2)/h   …(★)
  =lim(h→0)[cos{x+(h/2)}]sin(h/2)/(h/2)  
x→0とすると、
cos{x+(h/2)}→cosx ,  sin(h/2)/(h/2)→1  

よって、
y’=cosx  となる。


<解説>
声を大にして言うが、0≦sinx≦x≦tanx(0≦x≦π/2)は、弧度法のとき、上手く成り立つのである。数3の教科書でも、弧度法を使って、不十分ながら扇形の面積から求めた。だから、三角関数の微分積分はかならず、弧度法でやる。
どっかの塾だか、予備校だかの講師が、「なんで弧度法を使うのですか?」という生徒の問いに対して、「弧度法を使うとすべての角度を簡単にあらわせるんだよ」などと、本質を説明しないやつがいたが、困ったものだ。
(この講師が、360度進法だと、有理数までしかあらわせられないということを、言いたかったのではないかと信じたい)

以上!
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その他の回答 (全5件)

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

「180゜=π〔rad〕 」と書いてますよね。 πは弧度法による角度の単位で、"パイ"ではなく"ラジアン"と読みます。 弧度法の詳細については、参考書等を見てくださいね。 -π≦x≦πを普通の角度表記にすると、-180°≦x≦180°ということです。 でもこの問題ちょっと変ですね。 xy平面と断っておきながら、x座標が"cosx" ...続きを読む
「180゜=π〔rad〕 」と書いてますよね。
πは弧度法による角度の単位で、"パイ"ではなく"ラジアン"と読みます。
弧度法の詳細については、参考書等を見てくださいね。

-π≦x≦πを普通の角度表記にすると、-180°≦x≦180°ということです。

でもこの問題ちょっと変ですね。
xy平面と断っておきながら、x座標が"cosx"とxの変数になってます。
これが下記のようにθなら判るんですけど。
【問題】
 xy平面においてP(cosθ,sinθ)、Q(1,1)をとる。
 ただし、-π≦θ≦π. 180゜=π〔rad〕
 x≠0(θ≠0?)のとき、この2点P,Qを通る直線の傾きは?

この場合は、xの範囲はcosθの変域になるので -1≦x≦1 になるでしょうか。


  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

#1のhinebotです。 あわてて一部嘘を書いてしまいました。済みません。(汗) >πは弧度法による角度の単位で、"パイ"ではなく"ラジアン"と読みます。 これが間違い。πは"パイ"でいいんです。 正しくは、 「"rad"は弧度法による角度の単位で"ラジアン"と読みます。」 です。 ...続きを読む
#1のhinebotです。
あわてて一部嘘を書いてしまいました。済みません。(汗)

>πは弧度法による角度の単位で、"パイ"ではなく"ラジアン"と読みます。
これが間違い。πは"パイ"でいいんです。
正しくは、
「"rad"は弧度法による角度の単位で"ラジアン"と読みます。」
です。

ラジアンの定義ですが、扇形を思い浮かべてください。
扇形の弧の長さが、円の半径と同じであるとき、その中心角の大きさを"1 rad"と定めています。
すると 180°=π rad となるのです。
お礼コメント
koko722

お礼率 70% (17/24)

「ラジアン」についてよく分かりました。覚えておきます。ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-04-05 16:13:28
  • 回答No.3

要するに、180°=π つまり、 30°=1/6π 45°=1/4π 60°=1/3π・・・・です。 では360°は?もちろん2π 弧度法は数学IIICで詳しくやる、というより数IIICでは弧度法がメインなので理系でしたらそれまで待ってればいいと思います。 文系だったらこれは意地悪なだけで弧度法について詳しく知る必要ないので「180°=π」を素直に暗記するだけにしましょう。 ...続きを読む
要するに、180°=π
つまり、
30°=1/6π
45°=1/4π
60°=1/3π・・・・です。
では360°は?もちろん2π
弧度法は数学IIICで詳しくやる、というより数IIICでは弧度法がメインなので理系でしたらそれまで待ってればいいと思います。
文系だったらこれは意地悪なだけで弧度法について詳しく知る必要ないので「180°=π」を素直に暗記するだけにしましょう。
お礼コメント
koko722

お礼率 70% (17/24)

弧度法について、詳しくありがとうございました。私は、文系なのでそのまま暗記しておきます。ご回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-04-05 16:16:13
  • 回答No.4
レベル9

ベストアンサー率 23% (15/65)

すでにお二人が答えておられるように、[rad]は「ラジアン」と読みます。角度を表す単位で、「度」とは異なった表現です。cmとmみたいなもの?とはちょっと違うか(^^; とりあえず、180°=π[rad]です。 この場合はXの範囲は -π<=x<=π となっているので -180°<=x<=180°です。だからPは原点中心、半径1の円周上を(-1,0)からスタートして反時計回りに ...続きを読む
すでにお二人が答えておられるように、[rad]は「ラジアン」と読みます。角度を表す単位で、「度」とは異なった表現です。cmとmみたいなもの?とはちょっと違うか(^^; とりあえず、180°=π[rad]です。

この場合はXの範囲は -π<=x<=π となっているので -180°<=x<=180°です。だからPは原点中心、半径1の円周上を(-1,0)からスタートして反時計回りに(-1,-1) (1,0) (1,1) と回って行き、(-1,0)に帰ってきて終わるってコトになります。

こんなもんでお分かりいただけたでしょうか?
お礼コメント
koko722

お礼率 70% (17/24)

御礼が遅くなってしまってすみません。ラジアンについて、よく分かりました。Xの範囲まで、詳しく回答していただき、ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-04-06 13:48:31
  • 回答No.6
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

やばい、一部間違っている! >x≠0のとき、両辺をsinxで割ると、 0<1<x/sinx<1/cosx  ⇔1<cosx<(sinx)/x  …(7) のところです。正しくは、「cosx<(sinx)/x  …(7)」だけでいいです。  だから、以下も、 >(6)と(7)あわせて、(0<x≦π/2)のとき、 1<cosx<(sinx)/x <1  …(8) (8)式にお ...続きを読む
やばい、一部間違っている!

>x≠0のとき、両辺をsinxで割ると、
0<1<x/sinx<1/cosx  ⇔1<cosx<(sinx)/x  …(7)

のところです。正しくは、「cosx<(sinx)/x  …(7)」だけでいいです。 

だから、以下も、
>(6)と(7)あわせて、(0<x≦π/2)のとき、
1<cosx<(sinx)/x <1  …(8)
(8)式において、x→0 とすると、(sinx)/x →1 …(9)である。

を、

「(6)と(7)あわせて、(0<x≦π/2)のとき、
cosx<(sinx)/x <1  …(8)
(8)式において、x→0 とすると、cosx→1なので、(sinx)/x →1 …(9)である」
とします。
お礼コメント
koko722

お礼率 70% (17/24)

弧度法について、とても詳しい解説、ありがとうございました。
ちょっと難しいけど、良く読んで理解していきます。
何度も、ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-04-06 21:47:45
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