行列の問題

質問

問題１
２次元平面上の点Ｐ(x,y)が原点Oのまわりに角度xだけ半時計回りに回転しＰ´(x´,y´)になるとき、両者の関係は
A＝(cosx -sinx)
______(sinx　 cosx)　　　
を用い、
(x´)＝(cosx -sinx)(x´)
(y´)___(sinx　 cosx)( y ) 　　　　　……（１）で表せる。
A,B,Cの順が半時計回りであるような正三角形△ABCを考えよう。
A(a1,a2)，B(b1,b2)とするときCの座標を(１)式を利用し求めなさい。

問題２
A＝(a b)
______(c d)
で表される１次変換によって、点Ｐ,Ｑがそれぞれ点Ｐ´,Ｑ´に移るとする。原点をＯとし３点Ｏ,Ｐ,ＱおよびＯ,Ｐ´,Ｑ´がそれぞれ三角形をなすとき
１）△ＯＰ´Ｑ´の面積は△ＯＰＱの面積の何倍になるか求めなさい。
２）面積が変わらないための条件を記しなさい。

以上２つの問題が分かりません。
※「＿(アンダーバー)」は行列を見やすく書くために入れただけです。数式としては何も関係ないです。見にくくてすみません。
たびたび申し訳ないのですが、どちらかだけでもいいので教えていただけたらありがたいです。
お願い致します。

回答No.4

arrysthmia

＞ 問題１なのですが問題の意味がよくわかりません。

意味が分からなかった理由は、No.2 さんが指摘しています。
問題文で、x の文字を、点P の座標と 回転の角度の両方に
ダブって使ったために、式（１）が解読不能になったのです。
（１）の右辺で、(x,y) と (x´,y´) がゴッチャになっている
のも難点です。これらの点を改訂すると…

２次元平面上の点Ｐ(x,y)が原点Oのまわりに角度Tだけ反時計回りに回転し
Ｐ´(x´,y´)になるとき、両者の関係は
(x´)＝(cosT -sinT)( x )
(y´)___(sinT　 cosT)( y ) 　　　　　……（１）で表せる。
A,B,Cの順が反時計回りであるような正三角形△ABCを考えよう。
A(a1,a2)，B(b1,b2)とするときCの座標を(１)式を利用し求めなさい。

…となるでしょう。
↑AB を原点Oのまわりに 60°だけ反時計回りに回転すると
↑AC になりますから、
式（１）を、(x, y) = (b1 - a1, b2 - a2), (x´,y´) = (c1 - a1, c2 - a2), T = 60°
で利用すればよい。

回答No.3

info22

#1です。
問題１について
Kを(π/3)[rad]反時計回り回転行列, 「^t」は転置とすると
C^t=A^t+K*AB^t
これに以下を代入すればいいでしょう。
A=(a1,a2)
AB=(b1-a1,b2-a2)
K=
[1/2 -√3/2]
[√3/2 1/2]

回答No.2

KI401

# どうでもいいが、その行列Aの中にｘ使うのはおかしいと思うのだが。その問題ちゃんと写した？
# 普通そこは適当にθとか他の文字を使うべき。xは点Pのx座標で予約済み。

[1]
ABベクトルを60度回転すればACベクトルになる。
分からなければ、点Aが原点にくるように全体を平行移動した図を描いてみる。
反時計回りの順序であることが効いてくるので要注意。

[2]
1)
適当にP,Qに座標設定してごりごり計算すればわかる：
△OP'Q' = |detA|*△OPQ
一般に、図形の面積は|detA|倍になる。
detAが負なら図形の「向き」が逆になる。

2)（問題の意図が不明。何の面積よ）
解釈１
△OP'Q'=△OPQ であるためには、|detA|=1が必要十分

解釈２
２ｘ２正方行列が引き起こす一次変換が等積変換であるためには、
Aが直交行列であることが必要十分。

＃ちなみに結局どっちも条件としては同値。当然だが。

detAがナニとか聞き返してこないように。それぐらいは自分で調べれ。

お礼

自分は回答していただく側なので問題は何度もチェックしてちゃんと写しました。やはり上記のように書いてあります。
申し訳ないです。

親切にありがとうございます。
後はまた自分で調べながら頑張ってみたいと思います。
途中またわからなければ再度質問させて頂きたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

info22

質問者さんが自分で調べて作成した範囲の解答を補足に書いてください。
解答が行き詰ったら、その所を補足質問して下さい。
また解答チェック依頼でも結構です。

問題だけ書き解答をもとめる質問は問題の丸投げでこのサイトの禁止事項で
質問が削除対象となりますので注意してください。

補足

すいませんでした。

問題１なのですが問題の意味がよくわかりません。
最終的にはＣの座標を(x´)＝(cosx -sinx)(x´)
　　　　　　　　　　(y´)___(sinx　 cosx)( y )
の(cosx -sinx)
____(sinx　 cosx)　　部分をＡに置き換えて

(x´)＝Ａ(x´)
(y´)_____( y )を使って表すのかなと考えました。