集合と数学的帰納法

質問

１．平面上の点P(x,y)の集合A,Bを次のように定義する。
A={P(x,y)|x>0},B{P(x,y)|y≦-(x-k)^2+k かつ y≧kx-1}
Bは空集合でなく、しかも
B⊂Aであるためには、kはどんな範囲の値でなければならないか
　＝
という問題です。わかりにくいやつは⊂の下に＝がついたものです。

２．これは数学的帰納法の問題なのですが
数学的帰納法というのは学校で決まった形にあてはめるものだと
習いある程度お決まり文句がありそれはおぼえなければならないと
習いました。で、始めにn=1を代入して成り立つと証明し
次にn=kのとき成り立つと仮定してn=k+1の場合を考えるのですが
これは右辺にk+1とする式をひとつ付け加えて左辺にそれと同じものを
あてはめて解くというものだと自分では思っているのですがそれでは
解けません・・・ちょっと読解力に欠けているので
例題を出すので解き方を教えてください。
すべての自然数nに対して下の不等式が成り立つことを示せ。
1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n≧2n/(n+1)
という問題です。このれいだいのさっきいった
n=kを仮定してn=k+1のところを考えるところを教えてください

回答No.5

stomachman

No.3のコメントに対する回答です。

No.3はちょっと端折り過ぎでした。それに誤記が幾つかありますから、もう一回初めから書き直してみます。

●問題をはっきりさせましょう。
S(n) = Σ1/k （Σはk=1,2,....,nに関する和）
と書くことにして、
任意の自然数nについて
S(n)≧2n/(n+1)
であることを証明せよ、ってのが問題でした。
　自然数に0を含むかどうかちょっと曖昧ですが、n=0の場合、S(n) = 0、2n/(n+1)=0 ですから、n=0でもS(n)≧2n/(n+1)は成り立っています。ですから、nが正の自然数である場合だけを考えれば良い。

●そこで、
T(n) = Σ1/(2^(k-1)) （Σはk=1,2,....,nに関する和）
を考えて、
(a) 任意のn≧1について、S(n)≧T(n)
(b) 任意のn≧1について、T(n)≧2n/(n+1)
の二つを証明すれば良い。
　このための補助定理として
(c) 任意のn≧1について、T(n) = 2-1/2^(n-1)
(d) 任意のn≧1について、2^(n-1)≧n
(e) 任意のn≧1について、2^n≧n+1
を用います。先にこれらの補助定理の証明をしましょう。

●(c)「任意のn≧1について、T(n) = 2-1/2^(n-1)」の証明。これはもちろん数学的帰納法で証明してもよいのですが、等比級数の公式通りってことで、省略して良いでしょう。

●(d)「任意のn≧1について、2^(n-1)≧n」の証明。これも自明と言いたいですが、数学的帰納法ででやってみましょう。
[1] n=1の場合。
2^(n-1)=1、n=1だから、2^(n-1)≧nは確かに成り立ちます。
[2] n≧2でありかつ2^((n-1)-1)≧(n-1)であると仮定して、2^(n-1)≧nを導きます。
まず仮定である
2^((n-1)-1)≧(n-1)
の両辺を２倍すると
2^(n-1)≧2n-2
です。さらに、n≧2だから
2n-2≧n
です（2n-2≧nを移項して整理してみれば自明）。ゆえに
2^(n-1)≧2n-2≧n
よって、
2^(n-1)≧n
以上で(d)の証明は終わりです。
●(e)「任意のn≧1について、2^n≧n+1」の証明。これも自明ですよね。数学的帰納法による証明は(d)と全く同じ要領ですから、お任せしましょう。
これで補助定理(c)(d)(e)の証明はおしまいです。

●では本題です。まず(a)「任意のn≧1について、S(n)≧T(n)」の証明。数学的帰納法を使います。
[1] n=1の場合。
S(n) = 1、T(n)=1だから、S(n)≧T(n)は確かに成り立ちます。
[2] n≧2でありかつS(n-1)≧T(n-1)であると仮定して、S(n)≧T(n)を導きます。
まずS(n),T(n)の定義から、
S(n) = S(n-1)+1/n
T(n) = T(n-1)+1/(2^(n-1))
です。また補助定理(d)「任意のn≧1について、2^(n-1)≧n」より、
1/n≧1/2^(n-1)
なので、仮定
S(n-1)≧T(n-1)
から
S(n) = S(n-1)+1/n ≧ T(n-1)+1/(2^(n-1)) = T(n)
となります。
以上で(a)の証明は終わりです。

●(b)「任意のn≧1について、T(n)≧2n/(n+1)」の証明には、数学的帰納法は不必要です。
n≧1とすると、補助定理(e)「任意のn≧1について、2^n≧n+1」より、
2^(n-1)≧(n+1)/2　だから
1/(2^(n-1))≦-2/(n+1)　よって
2-1/(2^(n-1))≧2-2/(n+1)
です。そして、補助定理(c)「任意のn≧1について、T(n) = 2-1/2^(n-1)」より、
T(n) = 2 - 1/(2^(n-1))≧2-2/(n+1) = (2(n+1)-2)/(n+1) = 2n/(n+1)
以上で(b)の証明は終わりです。

★ご参考までに、以上の証明の仕方をどうやって思いつくか。
・実は(a)「S(n)≧T(n)」というのがまずヒラメクんですね。これは自明です。
・すると(b)「T(n)≧2n/(n+1)」が成り立つのかもしれない。で、nに幾つか小さい数値を入れてみてチェックします。
・どうやら成り立ちそうなので、(b)だけ証明してみます。
・旨く行ったので、あとは自明である(a)(c)(d)(e)の証明を付け加えて完成。

　一番肝腎の(b)の部分には数学的帰納法は必要ありません。(a)(c)(d)(e)の部分の数学的帰納法もごく易しいものばかりです。だからこのやり方では、数学的帰納法の練習問題、という気はあんまりしないですね。