集合と数学的帰納法

質問

１．平面上の点P(x,y)の集合A,Bを次のように定義する。
A={P(x,y)|x>0},B{P(x,y)|y≦-(x-k)^2+k かつ y≧kx-1}
Bは空集合でなく、しかも
B⊂Aであるためには、kはどんな範囲の値でなければならないか
　＝
という問題です。わかりにくいやつは⊂の下に＝がついたものです。

２．これは数学的帰納法の問題なのですが
数学的帰納法というのは学校で決まった形にあてはめるものだと
習いある程度お決まり文句がありそれはおぼえなければならないと
習いました。で、始めにn=1を代入して成り立つと証明し
次にn=kのとき成り立つと仮定してn=k+1の場合を考えるのですが
これは右辺にk+1とする式をひとつ付け加えて左辺にそれと同じものを
あてはめて解くというものだと自分では思っているのですがそれでは
解けません・・・ちょっと読解力に欠けているので
例題を出すので解き方を教えてください。
すべての自然数nに対して下の不等式が成り立つことを示せ。
1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n≧2n/(n+1)
という問題です。このれいだいのさっきいった
n=kを仮定してn=k+1のところを考えるところを教えてください

回答No.1

zzzzzz

[問１・答１]
最初に＝が含まれる場合について一応注意しておきますが、
この集合の包含関係に関する＝は、「A=Bでもよい」という意味であって、
「Bが{(x,y)|x≧0}に含まれればよい」という意味では決してありません。
なので、例えば(0,0)がBに含まれていたとすると、もはやB⊆Aは成り立ちません。

記述の便宜上、f(x)=-(x-k)^2+k、g(x)=kx-1とします。
このような問題はy=f(x)とy=g(x)の交点を求めるところから始めることが多いですが、
この問題でそれをやってしまうとおそらく計算が複雑になりますのでやりません。
次のように考えます。定義から、
(x,y)がBに含まれる ⇔ g(x)≦y≦f(x)が成り立つ
ですから、
B⊆A ⇔ 任意の(x,y)∈Bに対して(x,y)∈A
⇔ 任意のg(x)≦y≦f(x)を満たす(x,y)に対してx>0
⇔ 任意のf(x)-g(x)≧0を満たすxに対してx>0
さらに、f(x)-g(x)が上に凸な２次式であることを考えれば、
⇔ f(x)-g(x)=0はx≦0に解を持たない
⇔ f(0)-g(0)<0かつ２次曲線の軸はxが正の領域にある
と考えられます。ここで、
f(x)-g(x) = -(x-k)^2+k - (kx-1) = -x^2+kx-k^2+k+1
であり、明らかにy=f(x)-g(x)に対応する２次曲線の軸はx=k/2ですから、先の条件はさらに
⇔ -k^2+k+1<0かつk>0
と変形できます。これを解けば
⇔ k>(1+√5)/2
が分かります。これがB⊆Aの必要十分条件です。
問題では、さらにBが空でない、という条件がありますが、これはf(x)-g(x)≧0を満たすxが存在することと同値であり、
さらに対応する曲線が上に凸な２次曲線であることから、f(x)-g(x)=0が解を持つことと同値であることが分かります。
従って判別式を使って判定すればよく、
D = k^2 - 4(k^2-k-1) = -3k^2+4k+4 = -(3k+2)(k-2) ≧ 0
が必要十分です。これは-2/3≦k≦2と同値であり、B⊆Aの条件とまとめれば、
(1+√5)/2 < k ≦ 2
が解になります。

お礼

うーん・・・やっぱりパソコンの数式は
見づらくて理解するのが大変です・・・
もう一度考えてだめなら始業式に先生に聞こうと
思います。ありがとうございました。