二次関数の問題（高校レベル）

質問

問）変数x,yはx^2+y^2=1とx＞0を満たす実数とする。(1)t=x+yとおくときtのとりうる値の範囲を求めよ。

答）y=t-xを代入、整理してf(x)＝2(x-t/2)^2+t^2/2-1 、f(x)＝0がx＞0の範囲に少なくとも一つの解をもつためのtの条件を求めて・・・-1＜t≦√２

私は「 f(x)＝0がx＞0の範囲に少なくとも一つの解をもつためのtの条件」の部分がわかりません。なぜそのような条件を満たす解を探すのでしょうか？？

数学の得意な方お願いします！！

回答No.2

debut · ベストアンサー

t=x+yのx,yはx^2+y^2=1(x＞0)を満たすので、グラフでいえば、
直線y=t-xと曲線x^2+y^2=1とは、x＞0において１ヶ所以上で交わらなけ
ればならない。
そして、y=t-xを代入して整理した2(x-t/2)^2+t^2/2-1=0はその交点の
ｘ座標を求める式なので、解がx＞0において少なくとも１つはなければ
ならない、ということでしょう。

お礼

回答ありがとうございます！！「t=x+yのx,yはx^2+y^2=1(x＞0)を満たすので、グラフでいえば、
直線y=t-xと曲線x^2+y^2=1とは、x＞0において１ヶ所以上で交わらなければならない。」とありますがなんででしょうか？？こんなくだらないこと聞いてすいません！！

回答No.3

mmk2000

＞(1)t=x+yとおくときtのとりうる値の範囲を求めよ。

これは、xもyもすべての値をとるんだったらtだってもちろん、どんな値も取れますよね？足し算しているだけなのでx=10,y=20だったら、もちろんt=30です。
ただ、条件がついていて、xとyは
x^2+y^2=1、x＞0
も満たします。この条件ではtはどんな値になりますか？と聞いているわけです。
なので、
x^2+y^2=1、x＞0とt=x+yの交点をとる範囲が答えになります。
もし、交点を通らなかったら、x,yはx^2+y^2=1、x＞0を満たしていないということになります。円上の点ではないのでt=x+yを計算したところで意味がないですね。

ちなみにx=cosθ,y=sinθとして、三角関数の合成などを利用したらもう少し簡単に解けそうですね。

お礼

回答ありがとうございます。なんとなくわかったような気がします。

回答No.1

Willyt

問題をグラフに書いてみると忽ち解けますよ。半径１の円の右半分の部分がＸ、Ｙの取り得る範囲ですね。これに対し（１）は勾配が４５度右下がりの直線です。ｔを変えるとその直線がどう動くかを考えて見てください。そうるとｔの取り得る範囲が浮き出して来ますね？(^_^)

お礼

回答ありがとうございます！そういう解き方もあるんですね。でも質問で挙げた解き方も知りたいんです。