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お礼率 53% (55/103)

r=exp(jΦ)=cosΦ+jsinΦ
で、
r={cosθ+j√{(sinθ)^2 -n^2}/{cosθ-j√{(sinθ)^2 -n^2}
があり、これを解くと

Φ=2*tan[{√{(sinθ)^2 -n^2}}/cosθ]^-1
(タンジェントインバースということです)

になるらしいのですが、どのようにすれば
Φを求めることができるのでしょうか。
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回答 (全5件)

  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 43% (186/425)

sin(x)=(exp(jx)-exp(-jx))/(2j) cos(x)=(exp(jx)+exp(-jx))/2 というのはごぞんじですよね。 exp(jx)=cos(x)+jsin(x) exp(-jx)=cos(x)-jsin(x) から求まりますよね。 で、sin(x),cos(x)がわかっているので、 tan(x)=sin(x)/cos(x)=)=(exp(jx)-exp(- ...続きを読む
sin(x)=(exp(jx)-exp(-jx))/(2j)
cos(x)=(exp(jx)+exp(-jx))/2
というのはごぞんじですよね。
exp(jx)=cos(x)+jsin(x)
exp(-jx)=cos(x)-jsin(x)
から求まりますよね。

で、sin(x),cos(x)がわかっているので、
tan(x)=sin(x)/cos(x)=)=(exp(jx)-exp(-jx)/j(exp(jx)+exp(-jx))
=(exp(2jx)-1)/j(exp(2jx)+1)
となります。exp(2jx)に関して解いて、logをとると、
arctan(x)=(-j/2)log((1+jx)/(1-jx))
となります。arctan(x)とは、tan^(-1)(x)のことです。
(タンジェントのマイナス1乗ではありません。タンジェントの逆関数です。)
面倒なので、
√{(sinθ)^2 -n^2}=u
とおきましょう。
r=(cos+ju)/(cos-ju)
と表記します。
すると、
jΦ=log((cos+ju)/(cos-ju))=log((1+ju/cos)/(1-ju/cos))
=(-2/j)arctan(u/cos)
ですね。よって両辺jでわってやれば、
Φ=2*arctan(u/cos)
で求めるべき式がもとまります。
おわり。


  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 36% (36/98)

夜も遅く、1回解いただけなので自信はありませんが、 まず、r= {cosθ+j√{(sinθ)^2 -n^2}} /{cosθ-j√{(sinθ)^2 -n^2}} の分母と分子に、{cosθ-j√{(sinθ)^2 -n^2}}の共役複素数、{cosθ+j√{(sinθ)^2 -n^2}} を掛けて、分母を有理化します。 すると、 r=(2(cosθ)^2-1)/(1-n^2) + ...続きを読む
夜も遅く、1回解いただけなので自信はありませんが、
まず、r= {cosθ+j√{(sinθ)^2 -n^2}} /{cosθ-j√{(sinθ)^2 -n^2}}
の分母と分子に、{cosθ-j√{(sinθ)^2 -n^2}}の共役複素数、{cosθ+j√{(sinθ)^2 -n^2}} を掛けて、分母を有理化します。
すると、
r=(2(cosθ)^2-1)/(1-n^2)
+ (2 cosθ/(1+n^2))*√{(sinθ)^2 -n^2} *j
となります。
これが、cosΦ+jsinΦ ですから、
(2(cosθ)^2-1)/(1-n^2) が cosΦ であり、
(2 cosθ/(1+n^2))*√{(sinθ)^2 -n^2} が sinΦ です。

後で、必要になるので、ここで、1-cosθ と 1+cosθ を求めておいてください。

さて、目標の
Φ/2 = tan[{√{(sinθ)^2 -n^2}}/cosθ]^-1
を示すには、
tan(Φ/2) = √{(sinθ)^2 -n^2}}/cosθ
が言えればよいわけです。

そこで、tan(Φ/2)を求めます。
コサインの加法定理 cos(α +β)=cos α cos β-sin α sin β で、
β=α と置くと、  cos2α =(cosα)^2-(sinα)^2  ---(2)
ここで、(sinα)^2=1-(cosα)^2  を代入すると、
cos2α =2*(cosα)^2-1  という式ができます。
この式から、(cosα)^2=( 1+cos2α )/2 ---(3)
(2)で、、(cosα)^2 =1-(sinα)^2 を代入すると、
cos2α =1-2*(sinα)^2 
この式から、(sinα)^2=( 1-cos2α )/2 ---(4)
(4)÷(3)より、
(tanα)^2 =((sinα)^2)÷((cosα)^2)
=( 1-cos2α )÷( 1+cos2α )
ここで、α =Φ/2 と置くと、 2α=Φ で、
これにより、tan(Φ/2) の2乗が求まります。つまり、上で求めておいた、
1-cosθ を 1+cosθ で割ればよいわけです。あと、ルートして、
tan(Φ/2) を求めますと、
{√{(sinθ)^2 -n^2}/{2(cosθ)^2-n^2}
となります。
分母は、cosθにはなりませんでした。私の計算にミスがあったかもしれません。
ご自分でお確かめください。
この説明でわかりにくいところがあれば、また質問してください。それでは。
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 51% (86/168)

まず、r の分母分子に、cosθ+j√((sinθ)^2 -n^2) を掛けると、  r = {cosθ+j√((sinθ)^2 -n^2)}^2 / (1-n^2) となります。 ここで、  z = {cosθ+j√((sinθ)^2 -n^2)}/√(1-n^2) とすると r=z^2 となっています。 また、  z = cos(Φ/2) + jsin(Φ/2) なので、実部と虚部 ...続きを読む
まず、r の分母分子に、cosθ+j√((sinθ)^2 -n^2) を掛けると、
 r = {cosθ+j√((sinθ)^2 -n^2)}^2 / (1-n^2)
となります。

ここで、
 z = {cosθ+j√((sinθ)^2 -n^2)}/√(1-n^2)
とすると r=z^2 となっています。
また、
 z = cos(Φ/2) + jsin(Φ/2)
なので、実部と虚部を比較して
 cos(Φ/2) = cosθ/√(1-n^2)
 sin(Φ/2) = √((sinθ)^2 -n^2)/√(1-n^2)
を得ます。
すると、
 tan(Φ/2) = √((sinθ)^2 -n^2)/cosθ
が出てきます。

複素平面上での割り算の操作によってベクトルがどのように回転するのかを考えると、
ここまで数式をいじらなくても、cos(Φ/2),sin(Φ/2)などはすぐに求まると思います。
  • 回答No.4
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

guiter さんのご回答の通りですが,今の場合はもう少し簡単にできるでしょう. 本質的に guiter さんの二番煎じのような気もしますが... rの分母分子は虚数部の符号だけ違うのですから, rの分子を R exp(jψ) と書けば,分母は R exp(-jψ) です. したがって, r = R exp(jψ) / R exp(-jψ) = exp(2jψ) になります. つまり,分 ...続きを読む
guiter さんのご回答の通りですが,今の場合はもう少し簡単にできるでしょう.
本質的に guiter さんの二番煎じのような気もしますが...

rの分母分子は虚数部の符号だけ違うのですから,
rの分子を R exp(jψ) と書けば,分母は R exp(-jψ) です.
したがって,
r = R exp(jψ) / R exp(-jψ) = exp(2jψ)
になります.
つまり,分子の偏角ψの2倍がrの偏角Φです.
分子の偏角ψはあきらかに
tanψ = √{(sinθ)^2 -n^2} / cosθ
ですから
ψ = tan^(-1) [√{(sinθ)^2 -n^2} / cosθ]
あるいは
Φ = 2ψ = 2 tan^(-1) [√{(sinθ)^2 -n^2} / cosθ]

ただし,tan^(-1) は多価関数ですから値の範囲の選択に注意が必要です.
今は,分子の虚数部が √{(sinθ)^2 -n^2} > 0 ですから,
ψの範囲は 0<ψ<π です.
普通は tan^(-1) の主値は -π/2 から π/2 の間に取りますので,
そこらへんもご注意下さい.

なお,√{(sinθ)^2 -n^2} の中身は正だとしています.
  • 回答No.5
レベル12

ベストアンサー率 22% (116/506)

a,bをそれぞれ実数としa-bが2・πの整数倍の時a≡bとかく rを複素数としx,yをそれぞれ実数としたとき r=exp(j・Φ)=(x+j・y)/(x-j・y)ならば arg(r)≡Φ≡arg(x+j・y)-arg(x-j・y)≡2・arg(x+j・y)である (arg(x-j・y)≡-arg(x+j・y)であることに注意) tan^(-1)の値域 ...続きを読む
a,bをそれぞれ実数としa-bが2・πの整数倍の時a≡bとかく



rを複素数としx,yをそれぞれ実数としたとき

r=exp(j・Φ)=(x+j・y)/(x-j・y)ならば

arg(r)≡Φ≡arg(x+j・y)-arg(x-j・y)≡2・arg(x+j・y)である

(arg(x-j・y)≡-arg(x+j・y)であることに注意)



tan^(-1)の値域を-π/2以上π/2以下としx≠0とする



0<xのとき:

arg(x+j・y)≡tan^(-1)(y/x)であるから

Φ≡2・tan^(-1)(y/x)である



x<0のとき:

arg(x+j・y)≡tan^(-1)(y/x)+πであるから

Φ≡2・(tan^(-1)(y/x)+π)≡2・tan^(-1)(y/x)である



従っていずれにしてもΦ≡2・tan^(-1)(y/x)である
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