証明問題

質問

(cosθ+jsinθ)^n=cos(nθ)+jsin(nθ)を証明するんですが、
a=cosθ、b=cosθとおいて計算した。
tanθ＝b/a, よってθ=tan^(-1)b/a
(a+jb)^n=(√(a^2+b^2))^n(cos(tan^(-1)b/a)+isin(tan^(-1)b/a))^n
となりました。この先が見えません・・・
教えてください。

回答No.3

noname#20644 · ベストアンサー

ド・モアブルの定理といわれるものです。

＃１の方の書かれているように、
(cosθ+jsinθ)^n=cos(nθ)+jsin(nθ) が
(1) n=1 のときに、成立することを述べた後、

(2) n=k-1 のときに成立すると仮定して
(cosθ+jsinθ)^(k-1)=cos{(k-1)θ}+jsin{(k-1)θ}

(3) これに、(cosθ+jsinθ) を掛けると
左辺=(cosθ+jsinθ)(cosθ+jsinθ)^(k-1)
=(cosθ+jsinθ)^k
右辺=(cosθ+jsinθ)[cos{(k-1)θ}+jsin{(k-1)θ}]
=cosθ・cos{(k-1)θ}-sinθ・sin{(k-1)θ}+j[sinθ・cos{(k-1)θ}+cosθ・sin{(k-1)θ}]
=cos(kθ)+jsin(kθ)
となって、(cosθ+jsinθ)^k=cos(kθ)+jsin(kθ) が成立する。
従って、(cosθ+jsinθ)^n=cos(nθ)+jsin(nθ)
と言えばよい。

回答No.4

springside

nは自然数でしょうか？
であれば数学的帰納法の利用です。

nが自然数ではないのであれば、No.2の方のように、e^(jθ)を使うやり方でしょう。でもこれだと１行で終わってしまう（※）ので、それでもいいのかどうか．．．。

※
(cosθ+jsinθ)^n = {e^(jθ)}^n = e^(jnθ) = cos(nθ)+jsin(nθ)

回答No.2

noname#101087

通常は、
　exp(jθ) = cosθ+jsinθ
であることを利用して証明してますが。

回答No.1

uyama33

数学的帰納法と
sin((n-1)θ＋θ)＝
cos((n-1)θ＋θ)＝
を使うことなる