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解き方&答え

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お礼率 6% (16/241)

この問題の解き方と答えを教えて下さい。。。

因数分解をする!
(1) a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-c)

(2) a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-c)
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 58% (58/99)

さっそくですが,おそらく本問題の特性(対称性)を考えると,問題文はそれぞれ(a-c)ではなくて(a-b)の間違えでしょう.つまり,

(1)a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
(2)a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

として解法を教えます.

たしかにこれらはとてもムズカシイ因数分解で,私もかつて苦戦した記憶があります.ですが,これらの問題には鉄則!!があります.それは,

『2種類以上の文字が含まれる式の因数分解は,1つの文字についてくくれ!!!』

ってことです.例えば,簡単な問題では,ab+a+b+1を因数分解するとき,どうやっていたか覚えていますか?おそらく,

ab + a + b + 1
=a(b+1) + (b+1)
=(a+1)(b+1)

と解く人がほとんどでしょう.これがまさに『』内の鉄則です.つまり,上の問題では“a”という文字だけに着目して,これでくくったわけです.言い換えると,bという文字は無視して,aのある項とaのない項にわけたのです.このように,あるひとつの文字だけに注目し,それでくくってあげると,すっきりと解けますよ.

----------------------------------------------------------
(1)
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
を展開して,aという文字についてくくってみると・・・

与式=a^2(b-c) + b^2*c - b^2*a + c^2*a - c^2*b
=a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + b^2*c - b*c^2
=a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)
=(b-c){a^2-a(b+c)+bc}   ・・・※

よって,aでくくることで共通因数(b-c)が見えてくるわけです.あとは,{a^2-a(b-c)+bc}を因数分解するわけですが,これはたすきがけによって,

{a^2-a(b-c)+bc}=(a-b)(a-c)

と因数分解できます.よって,

※式=(b-c)(a-b)(a-c)=-(a-b)(b-c)(c-a)

が答えです.
(なお,上のように頭にマイナスを出して,順番を入れ替えたのは,見た目を美しくするためです.)

--------------------------------------------------------
(2)
これも同じようにaでくくれば先が見えてきますが,これは計算がややこしいです.

与式=a^3(b-c) + b^3*c - b^3*a + c^3*a - c^3*b
=a^3(b-c) - a(b^3-c^3) + b^3*c - b*c^3
=a^3(b-c) - a(b-c)(b^2+bc+c^2) + bc(b-c)(b+c)
=(b-c){a^3 - a(b^2+bc+c^2) + bc(b+c)}   ・・・※

つぎに,{}の中身を因数分解しますが,今度はこのままの形,つまりaでくくった形では因数分解が困難なので,いったん展開してからbでくくってみましょう.すると,{}内は

(c-a){b^2 + bc - a(c+a)}

と因数分解できます.あとは残りの部分をcでくくってみましょう.

・・・とまあ,この辺は(1)とおんなじ作業なので割愛します.今までの解法が理解できていればそれほど難しくありませんので,あえて途中式を割愛しました.ぜひ自分の実力チェックとしてがんばってみてください.すると,最終的に得られる答えは

与式=(b-c)(c-a)(b-a)(a+b+c)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

でしょうか.
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 34% (15/43)

変数がabcの3つあるのでこのままだと解きにくいと思います。 仮にa=cとして変数を2つに減して考えると解けますよ。 後は自分で考えてね。
変数がabcの3つあるのでこのままだと解きにくいと思います。

仮にa=cとして変数を2つに減して考えると解けますよ。

後は自分で考えてね。


  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 57% (1002/1731)

補足です。 この問題の場合,式が対称で,どの文字についても次数は同じですが,もし文字によって次数が異なる場合は,通常 「もっと文字数の低い1文字について解け」 となります。 たとえば,式を全部展開した時,aの次数が3,bが2,cが1なら,cについてまとめると,c(なんとか)+(かんとか)という,cの1次式になります。 3次式よりは2次式,2次式よりは1次式のほうが,すぐに共通因数が見えてきて,比 ...続きを読む
補足です。
この問題の場合,式が対称で,どの文字についても次数は同じですが,もし文字によって次数が異なる場合は,通常
「もっと文字数の低い1文字について解け」
となります。
たとえば,式を全部展開した時,aの次数が3,bが2,cが1なら,cについてまとめると,c(なんとか)+(かんとか)という,cの1次式になります。
3次式よりは2次式,2次式よりは1次式のほうが,すぐに共通因数が見えてきて,比較的因数分解しやすいことが多いからです。

それにしても,今でもあるんですね,こんな難しい因数分解って。
  • 回答No.4
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

N02,N03の方が言っておられる定石とは? 式変形の基本~文字の固定順位~ 1.次数最高の文字を固定。つまり定数項と見る。 2.係数最大の文字、又は最頻出文字を固定。つまり、定数項と見る。 3.全て対等なら何でもよい。どれでもいいから、定数項と見る。 これは、 「動かす文字 →なるべく変化量の少ない文字を動かす」 「固定する文字→なるべく変化量の大きい文字を固定する。つまり、定数項 ...続きを読む
N02,N03の方が言っておられる定石とは?

式変形の基本~文字の固定順位~
1.次数最高の文字を固定。つまり定数項と見る。
2.係数最大の文字、又は最頻出文字を固定。つまり、定数項と見る。
3.全て対等なら何でもよい。どれでもいいから、定数項と見る。

これは、
「動かす文字 →なるべく変化量の少ない文字を動かす」
「固定する文字→なるべく変化量の大きい文字を固定する。つまり、定数項と見る」
という、文字を動かす基本に通ずるものがあります。

それでは、次に因数分解の質問が来ても、他の回答者の方々のお手を煩わさないように、因数分解解法を載せておきます。

全ての項に共通な因数があるか?
「YES→くくりだす。」「NO→何もしない」
        ↓
次に、次数最低の文字について整理する。
        ↓
その式は一次式か?
  「YES→(1)☆+(2)の、(2)のみを、因数分解する。(注!☆は次数最低の文字)」
        ↓
  「(1)と(2)の共通因数を探してくくりだす」
        ↓
  「      END        」


  「NO→その式は2次3項式か?」
        ↓
     「YES→(1)☆^2+(2)☆+(3)の、(1)と(3)のみを因数分解する」
        ↓
     「(ax+b)(cx+b)=acx^2+(ad+bc)x+bdを利用して因数分解する」
        ↓
    「      END        」
 

     「NO→公式を直接利用するか、因数定理を利用」
        ↓
      「      END        」


以上!
        
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