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ジョルダン標準形のKer(f-αI）について
今ジョルダン標準形の勉強をしているのですが、 「・・・Ker(f-αI)を固有空間といい・・・」 と書いてあるのです。 でもこのKerってなんていう文字の略で、 どういうどういうものなのでしょうか？ ・・・つまり、div(f-αI)みたいになんらかの計算をするための文字なのでしょうか？ それともKer(f-αI)と書いて固有空間を表すというだけの意味なのでしょうか？ ネットで探してもそこのところがよくわかりませんでした； よろしくお願いします。
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Kerというのは、ある部分集合を表す記号です。英語ではkernel,日本語では核と言います。 具体的には、ベクトル空間Ｖからベクトル空間Ｗへの線形写像Ｔについて、 KerＴ＝{x∈v|Ｔx=0} ※右辺の0はＷのゼロベクトルです。 と定義されています。 ※Ｔの線形性からKerTは、Ｖの部分空間となります。 要するに、線形写像Ｔで移すと、ゼロベクトルに潰れてしまう元を寄せ集めたもの、ということです。 上の定義を使えば、x≠0の時、 x∈Ker(f-αI)である事と、xがfの固有値αの固有ベクトルである事は同値である事が分かると思います。 従って、Ker(f-αI)が固有値αの固有空間を表わす事になります。
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- ojisan7
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Kernel（核）は線形空間だけでなく、一般的に代数学で広く使われる概念です。Kerの意味については、＃１、#２、＃3さんの回答を参考にしてください。しかし、固有空間を定義するのに、わざわざKerを使う、というのも「数学」らしいというか、簡単な概念を難しく表現するという意味で、いやらしさを感じているのは、わたしだけでしょうか？ それから、行列Aが対角化可能であるための必要十分条件は、特性方程式の個々の根（固有値）の重複度が固有空間の次元に一致することです。ユニタリー行列で対角化する場合は、＃２さんが述べているように、正規行列であることが必要十分です。
- kimkat
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>あと、対角化できないケースというのは、 >固有値に重解があってなおかつ、対象行列でない行列と思ったら良いのでしょうか？ そんなことはありません。 >今ジョルダン標準形の勉強をしているのですが、 >「・・・Ker(f-αI)を固有空間といい・・・」 >と書いてあるのです。 と書いてあるので、それに対する答えの部分の近くを読んでいるんだろうと思います。ヒントは固有空間の次元と関係します。あとは教科書を読んでください。
- eatern27
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>あと、対角化できないケースというのは、 >固有値に重解があってなおかつ、対象行列でない行列と思ったら良いのでしょうか？ 固有値に重解がある対称でない行列も対角化できるケースはあるんじゃないかなぁ。 とりあえず、行列Ａが対角化できるための必要十分条件は、Ａが正規行列である事です。 ※正規行列とは、Ａの複素転置(実行列なら単なる転置でいい)をＡ†としたら、ＡＡ†＝Ａ†Ａが成り立つ行列です。
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A= [0 -1 1 0 -1 1 -1 1] [1 -3 3 0 -4 0 -2 0] [-2 1 -3 0 1 -2 1 -2] [-1 4 -4 -1 7 0 4 0] [-3 1 -3 0 0 -3 1 -3] [-2 6 -5 0 9 -2 6 -1] [3 1 1 0 3 4 0 4] [3 -6 6 0 -9 2 -6 1] のジョルダンの標準形を求め ジョルダンの標準形に相似変換する行列をを求めよ 次の解答でいいですか? 書き方も含めて、間違いを指摘して下さい。 【解答】 固有多項式 det(A-λE)= =λ^8+8λ^7+28λ^6+56λ^5+70λ^4+56λ^3+28λ^2+8λ+1 =(λ+1)^8 (二項定理の係数になってたので因数分解できました) 固有値:λ=-1(8重根) 固有値-1に対して、B=A+Eと書く。 最初にrank(B)を求める。 B= [1 -1 1 0 -1 1 -1 1] [1 -2 3 0 -4 0 -2 0] [-2 1 -2 0 1 -2 1 -2] [-1 4 -4 0 7 0 4 0] [-3 1 -3 0 1 -3 1 -3] [-2 6 -5 0 9 -1 6 -1] [3 1 1 0 3 4 1 4] [3 -6 6 0 -9 2 -6 2] ⇩(ガウスの消去法) [1 0 0 0 1 0 0 0] [0 1 0 0 1 0 1 0] [0 0 1 0 -1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 1] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] よって、rank(B)=4 ジョルダン細胞数の数は固有空間の次元に等しいので、 dim(Ker(B))=8-rank(B)=4個 次にジョルダン細胞の次数を求める。 (m+1)次以上のジョルダン細胞の数は、 rank(A-λE)^m-rank(A-λE)^(m+1) で与えられるから、 rank(B)-rank(B^2)の値が2以上のジョルダン細胞の数を与えるから、B^2を計算。 B^2= [-1 0 -1 0 0 -1 0 -1] [-1 0 -1 0 0 -1 0 -1] [1 0 1 0 0 1 0 1] [2 0 2 0 0 2 0 2] [1 0 1 0 0 1 0 1] [4 0 4 0 0 4 0 4] [0 0 0 0 0 0 0 0] [-4 0 -4 0 0 -4 0 -4] ⇩ [1 0 1 0 0 1 0 1] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] よって、rank(B^2)=1 rank(B)-rank(B^2)=4-1=3 2次以上のジョルダン細胞数は3個。 8次の中にジョルダン細胞数が合計で4個、2次以上が3個なので、 ジョルダン細胞の直和は、1次+2次+2次+3次という形になる。 Aの相似形を「～」で書くと、ジョルダン標準形は、次数の低い方からの直和で(➕は、＋の丸囲みです) A～J(-1,1)➕J(-1,2)➕J(-1,2)➕J(-1,3) J= -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 次に固有ベクトルを求める。 求める固有ベクトルを p=[p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8]^t (^tは、転置行列)と書く。 p=(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8) (列ベクトルの記述です) として、固有ベクトルを求める Bp=0 [1 0 0 0 1 0 0 0]p=0 [0 1 0 0 1 0 1 0]p=0 [0 0 1 0 -1 0 0 0]p=0 [0 0 0 0 0 1 0 1]p=0 p1+p5=0 p2+p5+p7=0 p3-p5=0 p6+p8=0 p4=任意 t,s,u,vを媒介変数として p=t(-1,0,1,0,1,0,-1,0)+s(0,-1,0,0,0,0,1,0)+u(0,0,0,1,0,0,0,0)+v(0,0,0,0,0,1,0,-1) 独立した固有ベクトルは、 (-1,0,1,0,1,0,-1,0) (0,-1,0,0,0,0,1,0) (0,0,0,1,0,0,0,0) (0,0,0,0,0,1,0,-1) の4つだが、 1次ジョルダン細胞に対するものを一番簡単な(0,0,0,1,0,0,0,0)にする。 それをx=[0 0 0 1 0 0 0 0]^t (転置)と書く。 By≠0、Bz≠0、Bu≠0、B^2u≠0の条件で y=[1 0 0 0 0 0 0 0]^t z=[0 1 0 0 0 0 0 0]^t u=[0 0 1 0 0 0 0 0]^t を設定すると、変換行列Pはジョル細胞の低い方をからの直和に合わせ P=[x By y Bz z B^2•u Bu u] P= 0 1 1 -1 0 -1 1 0 0 1 0 -2 1 -1 3 0 0 -2 0 1 0 1 -2 1 1 -1 0 4 0 2 4 0 0 -3 0 1 0 1 -3 0 0 -2 0 6 0 4 -5 0 0 3 0 1 0 0 1 0 0 3 0 -6 0 -4 6 0 P^(-1)= 0 0 0 1 34 28 16 37 0 0 0 0 4 4 2 5 1 0 0 0 1 2 0 2 0 0 0 0 -8 -9 -3 -11 0 1 0 0 1 -1 1 -1 0 0 0 0 9 12 3 14 0 0 0 0 -4 -3 -2 -4 0 0 1 0 -1 -1 0 -1 P^(-1)AP=J になる。
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お礼
お返事ありがとうございます。 なるほどー。 よくわかりました。 あと、対角化できないケースというのは、 固有値に重解があってなおかつ、対象行列でない行列と思ったら良いのでしょうか？