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四面体の重心

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お礼率 60% (164/273)

三角形の重心は2等分線を2:1に分けるとは習いました。けれど四面体の重心はどう分けるのでしょう?
つまり四面体のひとつの頂点から重心に直線を引くと
その延長線は底面の三角形の重心につながりますが
その直線は重心によってどう内分されているのでしょうか?習ったようですが忘れてしまいました。
どなたかわかりやすい解説、web等教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル12

ベストアンサー率 22% (116/506)

四面体ABCDにおいて
直線CDに垂直な平面pに四面体ABCDを射影し
Aのpへの射影をA’とし
Bのpへの射影をB’とし
C(D)のpへの射影をC’と
四面体ABCDの重心のpへの射影をGとし
△ACDの重心のpへの射影をEとし
△BCDの重心のpへの射影をFとする

するとEは線分A’C’上にありFは線分B’C’上にあり
Gは直線A’Fと直線C’Eの交点であり
三角形の重心の性質からA’E:EC’=B’F:FC’=2:1である
従ってA’C’:EC’=B’C’:FC’=3:1である
従って△C’A’B’∽△C’EFでありその相似比は3:1である
従ってEF〃A’B’である
従って△GEF∽△GB’A’でありその相似比はEF:B’A’=1:3である
従ってA’G:GF=B’G:GE=3:1(求めるもの)である
お礼コメント
ko-masa

お礼率 60% (164/273)

何回も直していただいてありがとうございました。投影図とは少し難しかったですが一生懸命考えて理解することができました。ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-18 21:37:14
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その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 22% (116/506)

自身はありませんが3:1のような気がしますね 解析的に求めるのが一番ではないですか? 四面体の一つの頂点をCとし 四面体のもう一つの頂点をAとし CとAと「Cから引いた重心を求める直線」を含む平面と四面体の断面の三角形を△ABCとする △ABCにおいて 点Aを(0,0)とし 点Bを(γ,0)とし 点Cを(α,β)とすれば 四面体の重心のy座標は(1/4)・βであるから前記結論が・・・ ...続きを読む
自身はありませんが3:1のような気がしますね
解析的に求めるのが一番ではないですか?
四面体の一つの頂点をCとし
四面体のもう一つの頂点をAとし
CとAと「Cから引いた重心を求める直線」を含む平面と四面体の断面の三角形を△ABCとする
△ABCにおいて
点Aを(0,0)とし
点Bを(γ,0)とし
点Cを(α,β)とすれば
四面体の重心のy座標は(1/4)・βであるから前記結論が・・・
お礼コメント
ko-masa

お礼率 60% (164/273)

四面体の重心のy座標は(1/4)・βであるから前記結論が・・・
そうなんですか?知らなかったら自分があほですね。
文章では難しい質問ながらありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-18 21:45:22

  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 75% (28/37)

 厳密な証明になっていないかも知れませんが次のような計 算で求められます。  1つの頂点をA、これに対する底面の面積をS、頂点Aと 重心を結ぶ線と底面との交点をB、ABの長さをl、Aから Bにx座標を考え、xにおいて底面に平行な面でスライスし てその面をsとします。sはSに相似でその面積は s=k・x^2  (k=S/l^2) 重心の位置をxgとすると xg・V=∫s・x・dx=∫k・x^ ...続きを読む
 厳密な証明になっていないかも知れませんが次のような計
算で求められます。
 1つの頂点をA、これに対する底面の面積をS、頂点Aと
重心を結ぶ線と底面との交点をB、ABの長さをl、Aから
Bにx座標を考え、xにおいて底面に平行な面でスライスし
てその面をsとします。sはSに相似でその面積は
s=k・x^2  (k=S/l^2)
重心の位置をxgとすると
xg・V=∫s・x・dx=∫k・x^3dx=k・l^4/4
   V=∫s・dx=∫k・x^2dx=k・l^3/3
これから
xg=3・l/4
(ABを3:1に内分)

 この計算は頂点Aを固定し、底面Sが鉛直になるように置
いた状態を想定して、そこでモーメントが釣り合うと考える
と出て来ます。
 xg・V : 重心から力V(体積<=>重量)によって支える
       ことによるモーメント
 ∫s・x・dx : 三角錐の自重によるモーメント
お礼コメント
ko-masa

お礼率 60% (164/273)

わかりやすいようでモーメント・・・。そういう解き方もあるのですね。文章だけでは難しい質問、答え方ながらもわかりやすい解説ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-18 21:39:07
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