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四面体の重心
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四面体ABCDにおいて 直線CDに垂直な平面pに四面体ABCDを射影し Aのpへの射影をA’とし Bのpへの射影をB’とし C(D)のpへの射影をC’と 四面体ABCDの重心のpへの射影をGとし △ACDの重心のpへの射影をEとし △BCDの重心のpへの射影をFとする するとEは線分A’C’上にありFは線分B’C’上にあり Gは直線A’Fと直線C’Eの交点であり 三角形の重心の性質からA’E:EC’=B’F:FC’=2:1である 従ってA’C’:EC’=B’C’:FC’=3:1である 従って△C’A’B’∽△C’EFでありその相似比は3:1である 従ってEF〃A’B’である 従って△GEF∽△GB’A’でありその相似比はEF:B’A’=1:3である 従ってA’G:GF=B’G:GE=3:1(求めるもの)である
その他の回答 (2)
- tgb
- ベストアンサー率78% (32/41)
厳密な証明になっていないかも知れませんが次のような計 算で求められます。 1つの頂点をA、これに対する底面の面積をS、頂点Aと 重心を結ぶ線と底面との交点をB、ABの長さをl、Aから Bにx座標を考え、xにおいて底面に平行な面でスライスし てその面をsとします。sはSに相似でその面積は s=k・x^2 (k=S/l^2) 重心の位置をxgとすると xg・V=∫s・x・dx=∫k・x^3dx=k・l^4/4 V=∫s・dx=∫k・x^2dx=k・l^3/3 これから xg=3・l/4 (ABを3:1に内分) この計算は頂点Aを固定し、底面Sが鉛直になるように置 いた状態を想定して、そこでモーメントが釣り合うと考える と出て来ます。 xg・V : 重心から力V(体積<=>重量)によって支える ことによるモーメント ∫s・x・dx : 三角錐の自重によるモーメント
お礼
わかりやすいようでモーメント・・・。そういう解き方もあるのですね。文章だけでは難しい質問、答え方ながらもわかりやすい解説ありがとうございました。
- nubou
- ベストアンサー率22% (116/506)
自身はありませんが3:1のような気がしますね 解析的に求めるのが一番ではないですか? 四面体の一つの頂点をCとし 四面体のもう一つの頂点をAとし CとAと「Cから引いた重心を求める直線」を含む平面と四面体の断面の三角形を△ABCとする △ABCにおいて 点Aを(0,0)とし 点Bを(γ,0)とし 点Cを(α,β)とすれば 四面体の重心のy座標は(1/4)・βであるから前記結論が・・・
お礼
四面体の重心のy座標は(1/4)・βであるから前記結論が・・・ そうなんですか?知らなかったら自分があほですね。 文章では難しい質問ながらありがとうございました。
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