ニュートン法

質問

ニュートン法の問題です。
全平面で正則な複素関数f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)（z=x+iy）
の零点を求めるニュートン法は
z(k+1)=z(k)-f(z(k))/f'(z(k))
ですが、
これは２元連立方程式
u(x,y)=0
v(x,y)=0
を解くニュートン法と等価であることを示せ

という問題です。

とっかかりからわからないのですが、複素関数の微分の表現の仕方がわからないのと、u(x,y)=0のように２変数でしかも、抽象的に書かれるとニュートン法がわかりにくくなっているという点で困っています。

分かる方、解説よろしくお願いします。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

まず、複素関数の微分可能性に関する「コーシー & リーマンの定理」。

　複素関数　w = f(z) = u(x,y) + iV(x,y)　(z = x＋iy)が微分可能な必要十分条件は、
　　∂u(x,y)/∂x = ∂v(x,y)/∂y
　　∂u(x,y)/∂y = -∂v(x,y)/∂x
　が成立つこと。

微分可能な場合、たとえば
　　f'(z) = ∂u(x,y)/∂x + i∂v(x,y)/∂x
　　　　　= ∂u(x,y)/∂x - i∂u(x,y)/∂y
が成立。

次は、二変数の連立方程式のニュートン法。
　　u(x,y) = 0
　　v(x,y) = 0
の近似解 {xa,ya} からニュートンもどきに改善解を求めるには、
　　ux*dx + uy*dy = -ua
　　vx*dx + vy*dy = -va
(ただし、ux = ∂u(x,y)/∂x, ua = u(xa,ya), ....などと略記)
から {dx,dy} を求めればよい。

あとはフォローください。

お礼

その後…
　冷静に178tallさんの回答を分析して考えたところ
なんとかして解けました！！
　これは、大学のテストの過去問の問題だったんですけど、過去問と全く同じというかこの問題がでて解くことができました。深く感謝いたします。

補足

ご回答ありがとうございます。
上記の内容は理解できました。
その後、f(z）のニュートン法の式を変形して、
ux*dx + uy*dy = -ua
vx*dx + vy*dy = -va
の式と同値な式にもっていこうとしたのですが、うまくいきません。f(z)/f'(z)がうまく展開できないのです。
ぜひ　良ければ、補足アドバイスをいただけますか？ずうずうしい頼みですがお願いします。