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漸化式での次数下げ
学校の先生から漸化式の答えを求めるのに次数下げを使う方法を聞いたのですが、、、疑問があるんです。 a1=1,an+1=2an+1 …(1) これを漸化式の形にしたときに、 an+1+1=2(an+1)=2^n(a1+1)=2^(n+1) よってan+1=2^(n+1)-1 …(2) 次数を下げて、an=2^n-1 …(3) この最後の行の「次数を下げて」というのをしていいのかが分かりません。 というのも、条件式(1)はn≧1のときの話であって、だから(2)もn≧1のときのコトですよね? ということは(2)はa2、a3、a4、・・・を示しているのであって、a1は示していない。 だから答え(3)は、n≧2のときの話になると思うんです。 これが解でいいのかなと思うのですが、どうでしょう?
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大変丁寧な回答ありがとうございます(≧ω≦) そうか、第2項を使っただけだったんですね!それだったらもちろんn≧1で成り立ちますもんね(´∀`*)なるほどなるほど。 (2)式から(3)式を「次数を下げて」で導いて解とするのは減点はされない、と。でも 「an+1+1=2(an+1)=2^n(a1+1)=2^(n+1)」 の式を1本書いて、 「よって、an=2^n-1」 と書いたほうが、第2項を2で割りました感が出て良いですかね? あっでも、「形式的な次数下げは常にn≧1で正当化されている」ことになるから別に構わないのか(^_^;) ありがとうございましたw