- ベストアンサー
漸化式について
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＞ａn+1＝ａn＋１/ｎ(ｎ＋１) ちょっとわかりにくい書き方になっていますが、 a[n+1]=a[n]+(1/n(n+1)) のことでしょうか。もしそうだとすると、 a[n+1]=a[n]+(1/n)-(1/(n+1)) a[n+1]+(1/(n+1))=a[n]+(1/n) b[n]=a[n]+(1/n) とおくと、 b[n+1]=b[n] ∴b[n]は初項4, 公差0の等差数列 ∴b[n]=4 ∴a[n]=4-(1/n)
その他の回答 (1)
- ferien
- ベストアンサー率64% (697/1085)
次のように定められた数列{ａn}の一般項ａnを求めよ。 ａn+1＝ａn＋１/ｎ(ｎ＋１) ……（１） ａ1＝３ （１）は、ａn+1－ａn=１/ｎ(ｎ＋１) と変形しておきます。 右辺＝１/ｎ(ｎ＋１)について考えます。 例えば、１／３－１／４＝（４－３）／３・４＝１／３・４ の関係が成り立ちます。 だから右辺は、１/ｎ(ｎ＋１)＝１／ｎ－１／（ｎ＋１） のように書き換えることができます。 ａn+1－ａn=１/ｎ-1/(ｎ＋１) ……（２）より ａn－ａn-1 ＝１／（ｎ－１）－１／ｎ ａn-1－ａn-2＝１／（ｎ－２）－１／（ｎ－１） －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ ａ3－ａ2 ＝１／２－１／３ ａ2－ａ1 ＝１－１／２ これらを両辺で加えると最後残るのは、 ａn－ａ1＝１－１／ｎ、 ａ1＝３を代入して ａn＝ａ1＋１－１／ｎ＝３＋１－１／ｎ よって、 ａn＝（４ｎ－１）／ｎ
お礼
ご丁寧にありがとうございます！とても助かりました。
関連するQ&A
- 漸化式
よろしくお願いします。 [問題] 次の条件で定められる数列｛Ａn｝の一般項を求めよ。 Ａ1＝２、Ａn+1＝Ａn／(１＋Ａn) （ｎ＝１、２、３、……） [解] 条件により Ａ1＝２／１、Ａ2＝２／３、Ａ3＝２／５、Ａ4＝２／７ よって、一般に Ａn＝２／(２ｎ－１) ・・・・・・(1) となることが推測される。 一般項が(1)である数列｛Ａn｝が、条件を満たすことを示す。 ［１］ (1)でｎ＝１とおくと Ａ1＝２ ［２］ (1)をＡn／(１＋Ａn)に代入すると Ａn／(１＋Ａn)＝２／(２ｎ－１)÷{１＋２／(２ｎ－１)} ＝２／(２ｎ－１)÷(２ｎ＋１)／(２ｎ－１) ＝２／(２ｎ＋１) ＝２／{２（ｎ＋１）－１} よって、Ａn+1＝Ａn／(１＋Ａn) が成り立つ。 ［１］、［２］から、求める一般項は Ａn＝２／(２ｎ－１)。 ※このサイトだと項の番号をうまく表記できないので、Ａ1は初項、Ａnは第ｎ項、Ａn+1は第ｎ＋１項などと表しています。 この問題は数列の一般項を推測し、推測した一般項が条件を満たすことを示して、一般項を求めてるみたいなのですが。 ［２］の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか？。 また、(1)は推測したものだから、全ての自然数ｎについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね？。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか？。 以上ですが。分かるかた、教えてくださいm(__)m。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- だれか漸化式について教えてください。
もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。 漸化式のところでつまずいて前に進めません。 どなたか教えてもらえないでしょうか。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 初項がA1、An+1=PAn＋Q n＞1 P、Qは定数 の漸化式で確認しておきましょう。 An+1－α=P(An－α) つまり An+1=PAn－Pα＋α と与えられた漸化式 An+1=PAn＋Q を見て、定数項を比べると Q=－Pα＋α=α(1－P) となり、この式から α=Q／(1－P)・・・・・(1) とすればよいことが判ります。このとき数列{An－α}は An+1－α=P(An－α)より、公比Pの等比数列となり、その 初項は A1－α=A1－Q／(1－P)・・・・・・・(2) なので An－Q／(1－P)=(A1－Q／(1－P)）×Pのn-1乗・・・・(3) よって An=(A1－Q／(1－P))×Pのn-1乗＋Q／(1－P)・・・・・(4) と一般項が求まります。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 数列{An－α}の公比はPになることは直感的に判るのですが 初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが 最後に求まったのはAnの一般項でした。 それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果 です。 ここでの漸化式はAn+1－α=P(An－α)の形式に持ち込めたら 公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項 が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ つかめません。 解説のほどよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- だれか隣接3項間漸化式について教えてください。
中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。 漸化式 A1=2, A2=3, An+2=5An+1－6An n>=1 ・・・(1) を満たす数列が特性方程式X＾2=5X-6の解 Ｘ=2、X=3 から 2＾n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。 そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの 漸化式を満たす数列があるのか、ということです。 結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を 公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局 An+1－2An=(A2－2A1)3＾n-1 n>=1 ・・・(2) An+1－3An=(A2－3A1)2＾n-1 n>=1 ・・・(3) という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、 An=(A2－2A1)3^n-1－(A2-3A1)2^n-1 n>=1 となり、条件A1＝2、A2=3を代入して一般項は An=-1×3^n-1＋3×2^n-1 n>=1 ・・・(4) となりました。 これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの 証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を 満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが 一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。 (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが) このあたりの事情がよく判りません。 どなたか解説して戴けないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の漸化式質問
教科書で漸化式の記述です。 an+1=pan+qで与えられている数列の求め方 例 a1=3 an+1=3an-4 で定義されている数列を{an}とする 数列{an}は 3 , 5 , 11 , 29 , 83 ,・・・となりますよね。 この数列{an}の各項から2を引くとできる 数列を{an -2}は 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , ・・・ となる。数列{an -2}は、初項1 公比3 の等差数列になっている。 数列{an}に対して、数列{an -2}の一般項は an -2=1×3^n-1となっています。 ここが何でn-1なのですか？ {an}はn項あると思うのですが・・・ できるだけ詳しい解答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数IIBの数列の漸化式の問題です。
数IIBの数列の漸化式の問題です。 本当に分からないので、基礎の知識から詳しく教えてもらえるとありがたいです・・・ 1. 数列1,1,4,1,4,9,1,4,9,16,1,4,9,16,25,・・・・・・がある。 この数列の第100項および初項から第100項までの和を求めよ。 2 数列1,2,3,・・・・・,ｎにおいて次の積の和を求めよ。 （1）異なる２つの項の積の和（ｎ≧2） （2）互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和（ｎ≧3） 3 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 （1）A1=1 An+1=9-2An （2）A1=1 An+1=4An+3 4 数列{An}の初項から第ｎ項までの和SnがSn=n-Anであるとき、a1,a2,a3および{An}の一般項を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- だれか漸化式について教えてください（第二段）
簡単の為以下の例を採りあげます。 An+1=2An－1 ・・・・・(1) A1=2、n＞=1 (1)式は An+1－1= 2(An－1)・・・・・(2) と変形できるので数列{An－1}は公比2の等比数列で あることが判ります。 {An－1}の初項はA1－1=2－1=1 したがって数列{An－1}の一般項は An－1=1・2の(n－1)乗 ・・・・・(3) を満たし、一般項Anは An=2の(n－1)乗＋1・・・・・(4) となります。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－ 読本のなかの上記説明が次の点で理解できません。 疑問1．(2)式は“An+1－1”が公費2の等比数列である ことを示しているのではないか？ どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい ので“An+1－1”としたほうがよいと思うのです。 疑問2. 数列{An－1}の初項は1なので(3)式が成り立つと なっていますが、nに１、２、３、・・・と代入して “An－1”を計算していきました。すると 1、2、4、8、・・・となりますした。 公式An=nの(n－1)乗はnが1、2、3、4、・・・の自然数 (交差1の等差数列)の場合に成り立つとされてきた のに突然等比数列になっています。 それで正しいのでしょうが説明手順として納得できません。 スッキリ納得できる方法はないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご丁寧にありがとうございます！とても助かりました。