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微分方程式
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Riccati型 dy/dx + P(x)y = Q(x)y^2 + R(x) の,P(x)=0,Q(x)=1,R(x)=x^2のときですね. まず,この微分方程式の特解を求めましょう.（何でもいいです） ヒント：yがxのn次の式としたとき,左辺はn-1次,右辺は2n次です.これらが同じとなるのは,n=-1のときです. 次に,この特解をy0(x)とすると,y=z+y0として,元の式に代入します. すると, dz/dx-2y0z=z^2 となり,Bernoulli型に帰着されます. Bernoulli型 dz/dx + S(x)z(x) = T(x)z^n(x) 今度は,u(x)=z^(1-n)(x)とおいて解きます. あとは普通にやれば解けると思います.
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- DC1394
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#1様の言うとおり、この微分方程式はRiccati（リカッティ）の微分方程式と呼ばれています。 特解が見つかれば#1様の方針でBernoulli（ベルヌーイ）型の微分方程式に帰着できるのですが、 いつも特解が見つかるとは限りません。 実は、このRiccati（リカッティ）の微分方程式は適当な変換により、 2階の線形微分方程式に帰着されます。 （http://www.ht.sakura.ne.jp/~delmonta/alte/Mathematikwissenschaft2/1...の1.5参照） つまり、次のような微分方程式に帰着されるのですが、 d^2u/dx^2+p(x)du/dx+q(x)u=r(x) で、 この場合、p(x),q(x)が定数でなければ（特別な場合を除いて）初等関数（x^n,sin,cos,tan,log,expなど）の組み合わせで表すことは不可能です。 この微分方程式の解き方は（http://www.ht.sakura.ne.jp/~delmonta/alte/Mathematikwissenschaft2/3...参照） 実際に誰か高名な数学者がdy/dx=x^2+y^2をこの方法で解いたらしいです。
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