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微分方程式
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x*(dy/dx)＋y＝x*e^x これは，１階線形常微分方程式なので，一般解の公式を用いて解けます． 変形すると， dy/dx ＋y/x＝e^x 公式は， ----------------------------------------------- １階線形常微分方程式 dy/dx＋p(x)y ＋q(x)＝0 の一般解は y＝{exp(－∫p(x)dx)}[c－∫{q(x)・exp(∫p(x) dx)} dx] c は積分定数． --------------------------------------------------- です． p(x)＝1/x q(x)＝－e^x として，一般解を計算すると， y＝{exp(－∫1/x dx)}[c－∫{(－e^x)・exp(∫1/x dx)} dx] y＝{exp(－log(x))}[c－∫{(－e^x)・exp(log(x))} dx] y＝{exp(log(x^(－1)))}[c－∫{(－e^x)・x} dx] y＝{x^(－1)}[c－∫{(－e^x)・x} dx] y＝{x^(－1)}[c＋∫{(e^x)・x} dx] ∫{(e^x)・x} dx＝x∫e^x dx－∫∫e^x dx dx ∫{(e^x)・x} dx＝xe^x －e^x y＝{x^(－1)}[c＋xe^x －e^x ] y ＝ c/x ＋(xe^x －e^x)/x y ＝ c/x ＋e^x (x －1)/x が一般解です． y(1) ＝ －2 により， －2 ＝ c/1 ＋e^1 (1 －1)/1 c ＝－2 y ＝ －2/x ＋e^x (x －1)/x 変形して， y ＝(e^x (x －1)－2)/x が答えです．
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- FT56F001
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まず右辺 x*y'+y を ジッ とにらみます。 すると，x*y'+1*y=x*y'+x'*y=(x*y)'となっています。 よって，(d/dx)(x*y)=x*exp(x) この両辺を積分して， x*y=∫x*exp(x) dx = exp(x)*(x-1)+C よって，一般解は y=(exp(x)*(x-1)+C)/x です。後は初期条件x=1のときy=-2になるように積分定数Cを決めてください。
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