- 締切済み
微分方程式
(d^2y/dx^2)+2dy/dx+ay=0 (aはa>1なる定数)について以下の問に答えなさい。 (1)初期条件y(0)=1、y'(0)=-1を満たす解を求めんさい。 (2)前門で求めた解がy(π)=0を満たすような定数aの値を求めなさい。 (1)の解を求めたところ、 y=(e^-x)*cos(√(4a-4)/2)xとなりました。 そこで(2)なのですが 0=cos(√(4a-4)/2)πとし (√(4a-4)/2)=1/2としたところa=5/4となりました。 cos○π=0となるのは1/2πと3/2πがあると思うのですが ほかに考えられるものはあるのでしょうか??
- nizerush
- お礼率40% (29/71)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
三角関数は周期関数だということはご存知ですね。 また余弦cos(x)は偶関数だということもご存知ですね。 y=cos(x)のグラフはかけますね。xは実数の範囲です。 y=0となるxの値を求めなさい。といった場合、xの範囲を実数とした場合、 xの値はどうなりますか? cos(x)=0を満たすxは±(π/2)だけですか? y=cos(x)のグラフは ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ のように実数の範囲で±1の範囲を周期的に往復しています。そしてy=0すなわちx軸と交わる点は無限にあります。その無限の2nπ±(π/2)[rad](nはすべての整数でy=0となりますので cos(x)=0の解はx=±(π/2)だけだけでなく、それに周期2πの整数倍を加えた位相角と引いた位相角のすべてを含めたものが解ということです。 y=cos(x)はxひとつの値に対してyがひとつ決まります。 逆は正しくないですね。 yのひとつの値に対してxは無限個存在します。 xの範囲指定すれば、yに対するxの数も有限個にすることもできます。xの範囲を一周期に限定(-π≦x<π)すれば、yに対するxの値が普通2個になります(y=±1の所は重解で重なって1個になります)。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
>(1)の解を求めたところ、 >y=(e^-x)*cos(√(4a-4)/2)xとなりました。 √内を4を√の外に出して約分すれば y={e^(-x)}*cos{√(a-1)x} y(π)=0から ±√(a-1)π=2nπ±π/2 πで割って自乗して a-1={2n±(1/2)}^2=(1/4)(4n±1)^2 a=1+(1/4)(4n±1)^2, n=0,1,2,3,... 三角関数の位相角は絶えず2nπがあることを考えてやらないといけません。 また、cos(x)が偶関数であることを忘れないように! n=0,1,2,3,…と代入してaを求めて調べてみてください。 cosの位相角が (1/2)πと(3/2)πやそれに2mπ加えた角度が出てきます。
関連するQ&A
- 初期条件のない微分方程式
d^2y/dx^2 - 5dy/dx+6y=x^2 これの一般解を求めよ。特解はy=ax^2+bx+c (a、b、c)定数の形である。 このような問題を聞かれたのですが 「初期値」とか「条件」って(条件:x=0のとき、y=1, dy/dx=1 など)なくても解けるんですか? はじめて見たので「え!?」ってなってる形なんですけど どなたか解き方を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 再び微分方程式の質問(2)です。
全くわからず手が付けられません。ご回答よろしくお願いいたします。 微分方程式 y’+2y(2乗)-2y=0 について問1~問3について答えよ。 問1 問題の微分方程式は変数分離型である。変数を分離した積分として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。 (1) ∫1/y(y-1)dy=∫2dx (2) ∫1/y(1-y)dy=∫2dx (3) ∫1/y(y+1)dy=∫2dx (4) ∫1/y(y-1)dy=∫1/2dx (5) (1)~(4)に正解はない。 問2 問題の微分方程式の解として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。 (1) 一般解y=1±√1-Ce(2x乗)/2 (Cは任意定数) (2) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数) (3) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)と特異解y=1 (4) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)と特異解y=0 (5) (1)~(4)に正解はない。 問3 問題の微分方程式の解y=y(x)で、y(0)=1/2をみたすものがy(x)=2/3となるxとして次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。 (1) 1/2log2 (2) 3/2 (3) log6 (4) 1/6 (5) (1)~(4)に正解はない。 以上、よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式
微分方程式 dy/dx+ay=cosx を初期条件 x=0のとき、y=0 のもとで解け。ただし、aは正の定数とする。 という問題です。 1階線形微分方程式y'+P(x)y=Q(x)の解法で解けばいいのかなと思い、 解いていきました。 P(x)=aなので、 e^(∫P(x)dx)=e^(∫adx)=e^(ax) これを問題の両辺に掛けると、 e^(ax)y'+e^(ax)ay=e^(ax)cosx (e^(ax)y)'=e^(ax)cosx e^(ax)y=∫e^(ax)cosxdx となりました。 で、∫e^(ax)cosxdxの解き方がよく分かりません。 置換積分法と部分積分法を試したのですが、ダメでした。 そもそもこの解き方であっているのかもあまり自信がありません。 この問題の解き方、または∫e^(ax)cosxdxの解き方を教えて下さい。 ちなみに、指数の部分は()でくくられているところで、cosxやyは指数ではありません。 どなたかヨロシクお願いします。。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式について
下の微分方程式について教えていただきたいです。 dy/dx = G(x, y) ただし、y = f (x)とする。 また、x = xo のとき y = yo = f (xo) 以上をふまえて dy/dx = 1/4 * y において以下の問いに答えよ。 (※1/4 * y は 四分の一 × y のことです。分かりにくくてすみません) (1) x = 0 の時のyの値 (2) x = dx の時のyの値 (3) x = 2dx の時のyの値 (1)は自分で解いてみると答えがC(定数)になってしまい、(2)(3)は解き方すら分かりませんでした。 おそらく、どれも答えは1とか2とか具体的な数字になると思います 数学は苦手なので、お教え下さるとうれしいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 >y(π)=0から ±√(a-1)π=2nπ±π/2 なぜ±√(a-1)π=2nπ±π/2がでてきたのでしょうか?? 頭が回りません。。すみません。