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０÷０はなぜ、１ではないのですか？
marsmaruの回答
- marsmaru
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0/0が1のときもありますが,必ずなるとは限りません. (n-1)^2/(n-1)に,n=1を代入してみましょう. そうすると,0/0となります. もし,Oyaji75さんが正しいことになれば,1となるはずです. ところが,(n-1)^2/(n-1)=(n-1)となるので, これにn=1を代入すると,0となります. これは矛盾ですよね。 さて,これのどこがいけなかったのでしょうか？ 実は,0/0=1としたことよりも,n=1という操作がまずいのです. 数学には極限という概念があります. 矢印「→」であらわし, 「n→0」と書くと,nが0に近づくと読みます. 実際の操作は,n=0と同じなのですが,少し考え方が違います. n=0とすると,nに0をいきなり入れるという意味です. n→0のように,極限であらわすと,だんだんと近づいていく,ということをあらわすので, n/n n→0であれば, 0.1/0.1 , 0.01/0.01 , 0.001/0.001 ・・・という感じになります. 確かに,これは1になります. さて,先ほどの, (n-1)^2/(n-1)の問題を考えてみましょう. n=1ではなく,n→1としてみましょう. そうすると, (1.1-1)^2/(1.1-1)=0.1 (1.01-1)^2/(1.01-1)=0.01 (1.001-1)^2/(1.001-1)=0.001 ・・・ となり,どんどん0に近づいていく様子がわかります. では,ここからはちょっと難しい話になります. 分数では,分子と分母がそれぞれ極限で0になる場合, どちらのほうが0に速くなるか,という関数の収束の速さという議論が必要になります. 簡単に言いますと,分子のほうが速く0に近づく場合,何かある値になり, 逆に分母のほうが速く0に近づく場合,±無限大となります. この速さという概念は,ただの代入ではわかりません. 極限というものを使うからこそわかる事柄です. 上の例で考えてみましょう。 分子に1.1,1.01,1.001と代入してみましょう.それぞれ, 0.01,0.0001,0.000001となります. 今度は分母に同じ数を代入してみましょう.それぞれ, 0.1,0.01,0.001となります. 分子のほうが速く0に近づいているのがわかりますね. 結論です. 4/2や5/2などの解は全て一意的です. しかし,0/0というのは既に上げた通り,一意的な解をもちません. よって,0/0=1というのは誤りです. わからないところがあれば, 具体的にあげていただけるとありがたいです.
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＞分数では,分子と分母がそれぞれ極限で0になる場合, ＞どちらのほうが0に速くなるか,という関数の収束の速さという議論が必要になります. 確かに、分母が100、10、1、0と小さくなるのに、分子が1000から始まるのか、10から始まるのでは、最終的に分母分子が0になったとしても、結果が著しく変わってきます。 0/0が一意的な解を持たない事、0/0=1に矛盾がある事は分かりました。 ありがとうございます。