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線形代数：内積・最大値
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ウェブで数学記号使いまくると見難いので言葉だけ、雰囲気だけ伝えます。 1) まず2次元で考えます。Uq=(a, b)とおきます。すると内積pUqは、 pの成分和が1なので、aとbの重み付き平均ということになります。 「重み付き平均」はいろんな分野で出てきますので、知らなければ調べて覚えておくことをお勧めします。 aとbの重み付き平均が最大になるのはいつか？ a>bなら、a 100%の時が最大です。100%とは1のことです。 つまりp=(1,0)の時が最大。a<bなら(0,1)の時が最大。 これで2次元の場合は解けた。 次元が大きくなっても、内積はベクトルUqの成分の重み付き平均なので、最大のところを100%にするのが最大。 つまりp=(0,…,0,1,0,…,0)。つまり単位ベクトル。 証明終わり。 2) qが単位ベクトルでない、つまり「どこかの成分100%」でない、つまり中途半端だとすると、 pとして、Uqの最大成分のところを100%にするようなベクトル、つまり単位ベクトルを持ってくれば、qUqよりpUqを大きくすることができます。 矛盾。 証明終わり。
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- sparetime
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1) 何か条件が抜けてません？ だってp=(0,…,0,2,0,…,0) にしたら値が２倍になって、更に大きくなりますよ（正なら）。 2)もそうですが、行列Uについても、何か条件はないのですか？例えばUがゼロ行列だったら、1) も 2) も成り立ちませんよ。 あとUqという形で常に出てくるなら、q'等とおいてしまうべきだし。 出題文を見返すことをお勧め。
お礼
すみませんとんでもなくうっかりしてました(-_-;)ご指摘いただいてありがとう御座います。 p,qについての条件がすっぽり抜けていました。 p=(p1,p2,…,pN)とあらわすとき、∀iについてpi≧0であって、Σpi=1です。qについても同じです。
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感動しましたw。スッキリ解決です。 とても明快なご回答ありがとうございました！