- 締切済み
線形代数の行列式と内積の問題です
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
実成分の列ベクトル a と b に対して、 内積 ＜a b＞ が行列積を用いて (bの転置)a と 書けることは、理解しておいたほうがよいです。 これを使って、行列 A の各列の内積を並べると、 [ ＜ai aj＞ ] = (Aの転置)A となります。 あとは、この式の両辺の det をとるだけ。 det(BA) = (det B)(det A) と det(Aの転置) = det A も、 基本公式ですね。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
ヒントのまんまですが(^^; (Aの転置)×A の i行j列成分は <ai aj> だから、 det([<ai aj>]n×n)=det((Aの転置)×A) = det(Aの転置) X det(A) = det(A) X det(A)
(detA)^2=(detA^T)(detA) を使います。ただし、A^TはAの転置行列。 左右逆にすると余計な手間がかかるので注意。 右辺を機械的に計算すればdet(［〈ai, aj〉］n×n)になります。 手を動かしてご自分でやってみてください。 この問題には別解があるのでついでにそれも考えてみると いい練習になります。
関連するQ&A
- 線形代数 - 内積
とある問題でつまずいています。 n次元実ベクトル空間において、 zを任意のn次ベクトル、Aをn×n 行列とし || Az || = || z || ならば <Ax, Ay> = <x, y> となることを証明せよ というものです。ちなみに "|| ||"は標準的なノルム < , >は標準内積です。 標準内積の定義式にまで戻って証明を試みました。 n Σ fi を、Σ[i=1, n](fi) と以後表記します。 i=1 x, y のi行目の成分をそれぞれ xi, yi、 Aの(i, j)成分を aij とすれば、 <x, y> = Σ[i=1, n](xi * yi) で内積は定義され、 Axのi行目の成分 = Σ[j=1, n](aij * xj) Ayのi行目の成分 = Σ[j=1, n](aij * yj) であるので、与えられた条件より <Ax, Ax> = Σ[i=1, n](Σ[j=1, n](aij * xj))^2 = <x, x> = Σ[i=1, n](xi)^2 <Ay, Ay> = Σ[i=1, n](Σ[j=1, n](aij * yj))^2 = <x, x> = Σ[i=1, n](yi)^2 よって(?) <Ax, Ay> = Σ[i=1, n]{(Σ[j=1, n](aij * xj)) * (Σ[j=1, n](aij * yj))} = ?? と行き詰ってしまいました。 シグマの中をうまく展開できないものでしょうか・・。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数 行列式について
簡単そうな問題ですが、なかなか解けなくて困っています；； 行列A,Bをそれぞれｎ、ｍ次の正方行列とするとき Xという行列を X=|OA| で表すとき（つまりｘはｍ＋ｎ次行列でOの部分は要素が０） |BO| 「det(X) = (-1)^nm * det(A)*det(B)」となることについてです。 基本変形等で出来る問題でしょうか？ それともsgnなどを使ってこまごま解く方法なのでしょうか・・＞＜ よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題で分からない問題があります。
次の2問を詳しく御願いします。 １．A=（aij)を(i,j)成分がaijである複素n次正方行列とし、tA=(ajiバー）を(i,j)成分がajiバー（ajiの複素共役）である複素n次正方行列とする。 (1)２つのx,y∈Cのn乗に対して （Ax,y)=(x,tAバーy)が成り立つことを示せ。ここに（x,y)は２つのベクトルx,y∈Cのn乗に対する標準内積を表す。 （２）A=tAバー（つまりＡはエルミート行列）とする。Ａの固有値αに対する固有空間｛ｖ∈Ｃのn乗|Av=αv}をV(α）で記す。このときＡが異なる実数の固有値α1,α2を持つとするとV(α1)⊥V(α2)が成り立つことを示せ。 ここにV(α1)⊥V(α2)とはどのようなx∈V(α1),y∈V(α2)に対しても(x,y)=0が成り立つことを意味する。（つまりV(α１）とＶ（α２）は直交する） 非常に見えづらくなってしまって本当に申し訳ないのですがよろしく御願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題で・・・
線形代数の問題で解答がない証明問題でどうしてもわからない問題があるので教えてください。 問題内容は、 (i,j)成分がaij = ｜i-j｜であるn次正方行列Aについて、 ｜A｜= {(-1)^(n-1)}(n-1)2^(n-2) となることを証明せよ。 です。 ちなみに問題は教養の線形代数という本にある問題です。 教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題です！至急おねがいします！！！！
至急お願いします！！！！！ 線形代数の問題です。見えづらいですが次の２問をよろしくお願いします。 ※バーとは複素共役のことです。 標準内積の定義 (x,y∈C) (x,y)=x1y1バー+x2y2バー+…xnynバー (yのみバーがつきます) また標準内積は次の性質を満たす 1.(x1+x2y)=(x1,y)+(x2,y) 2.(λx,y)=λ(x,y)(λ∈C) 3.(x,y)=(y,x)バー 4.||x||≧0,||x||=0⇔x=0 またtAは転置行列を表す。 tAバーはAの上のみにバーがあります。 １．A=（aij)を(i,j)成分がaijである複素n次正方行列とし、tA=(ajiバー）を(i,j)成分がajiバー（ajiの複素共役）である複素n次正方行列とする。 (1)２つのx,y∈Cのn乗に対して （Ax,y)=(x,tAバーy)が成り立つことを示せ。ここに（x,y)は２つのベクトルx,y∈Cのn乗に対する標準内積を表す。 （２）A=tAバー（つまりＡはエルミート行列）とする。Ａの固有値αに対する固有空間｛ｖ∈Ｃのn乗|Av=αv}をV(α）で記す。このときＡが異なる実数の固有値α1,α2を持つとするとV(α1)⊥V(α2)が成り立つことを示せ。 ここにV(α1)⊥V(α2)とはどのようなx∈V(α1),y∈V(α2)に対しても(x,y)=0が成り立つことを意味する。（つまりV(α１）とＶ（α２）は直交する） どうかよろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
