アーランの謎？

質問

回線数5本で、1時間に30件のコールがあり、それに全部対応した（＝着信率100％）。平均通話時間は268秒だった。この時のアーラン（＝呼量）は30×268÷3600＝2.223となる。呼損率を0.03（＝コールの97％を取ろうとした場合）として、ある無料のサイトで必要回線数を出すと「6」となる。

つまり、回線5本で全てのコールを取って着信率が100％だったにもかかわらず、アーランからすると6回線必要＝1本足りなかったと出てくる。これが謎。

なんでこういうことがあるのでしょうか？誰かこの謎の理由が分かる方がいましたら是非、教えて下さい。

回答No.1

a-saitoh · ベストアンサー

着信率が100％だったのは偶然の幸運だからでしょう。
今後、1時間に30件のペースのコールがずっと続くと、いつかは5本の回線全部がふさがっているタイミングでもうひとつ電話がかかって来るというタイミングが生じます。で、計算上期待される呼損率は0.03よりかなり多くなると思いますよ。

お礼

投稿が前後してしまいましたがa-saitohさん、回答ありがとうございます。初めて質問したのですが、こんなにもすぐ回答を頂けて感謝してます。

補足

上記の回答で雰囲気はわかったのですが、それを数式からとか、少しだけ理屈の方も、他人を説得できる材料を教えて頂けないでしょうか？

回答No.3

age_momo

M/M/6(λ=30、μ=13.43)で計算すると確かに呼損率は2.9%程度ですね。
ちなみに5本で8.8%、7本で0.9%です。(あまり計算に自信ないですが)

結構、複雑な計算になるのでこれをそのまま説明するのは難しいでしょう。
少し、例え話をしてみます。

今、コインをn枚振って表の数を数えるとして合計10枚以上になる確率が
90%以上になるためには26枚のコインが必要です。
でも、実際に20枚ぐらい振って10枚が表になる事は十分ありえますね。
極端な話、10枚でも表10枚がありえます。(確率低いですが)

また、いつでも10枚以上というのは100枚振っても無理です。

この場合も確率3％を実現するには回線が6本必要なのです。
もちろん、5本でもOKなこともありますし、一度にかかってくれば
回線が10本あっても対応付かない事がありえますよね。
こういうものは結果で話をしてもしょうがないのですよ。
呼損率が8.8％ならたまたまOKなことも十分ありえそうです。
第一、ポアソン到着指数処理でなければ3本でもこなせますしね。
6分毎に3本ずつかかって来て、みんな、6分以内に話し終えれば
いいんですから。。。

お礼

たとえ話を使っての説明ありがとうございます。
皆さんのお陰でとても助かりました。

回答No.2

a-saitoh

これは、待ち行列理論の本を買ってください。
WEBに載っている解説は、M/M/1ばかりでこの場合に適用できるような解説はないかも知れません。
参考までに、URLを1つあげておきます。
ここで、回線が6つで、もし話し中でも電話を切らずに繋がるまで待ち続けるものとします。で、このURLの式に当てはめると。6回線用意していて6回線が全部ふさがる確率は　2％くらい(適当に計算したので間違ってるかも知れません)。つまり、6回線全部使い切る確率が2%あるってことは、5回線で足りない確率がそれくらいあるって事ですね。

実際には、「話し中だったらあきらめて電話を切る」という前提でこの状況を解析しないといけないのでもっとややこしくなります。

待ち行列は学生時代にやったきりなので、間違ってたらごめんなさい。

参考URL：

http://tomari.org/main/java/machim.html

お礼

すごく助かりました。ありがとうございます。