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関数の最小値

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お礼率 31% (5/16)

Sn=8×(5/4)n  -8-20n の最小値を与える整数nを求めたいのです。

8かける 4分の5 のn乗 ひく 8 ひく 20n です。よろしくお願い致します。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル5

ベストアンサー率 42% (3/7)

Sn+1-Sn<0を解けば求まります。もしかして元の問題には「ただしlog(10)2=0.3010とする」のような但し書きがありませんでいたか?
お礼コメント
rachel

お礼率 31% (5/16)

そうそう。これこれ!近頃,この分野から離れていたので,私の脳が錆付いています。
 今回は,有難うございました。
 ではまた。
投稿日時 - 2002-02-28 19:01:03
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  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

xのy乗をx^yって書きます。すると S(n) = 8((5/4)^n)-8-20n (nは整数) まず、 nの代わりに実数xを持ってきて S(x) = 8((5/4)^x)-8-20x にしてみる。(5/4)^xの部分は単調増加の指数関数であり、-20xの部分は単調減少の直線ですから、S(x)は極小を1個だけ持つのが分かります。 S(x)の最小値(極小値)を考えます。つまりxで微分して、これ ...続きを読む
xのy乗をx^yって書きます。すると
S(n) = 8((5/4)^n)-8-20n (nは整数)
まず、
nの代わりに実数xを持ってきて
S(x) = 8((5/4)^x)-8-20x
にしてみる。(5/4)^xの部分は単調増加の指数関数であり、-20xの部分は単調減少の直線ですから、S(x)は極小を1個だけ持つのが分かります。
S(x)の最小値(極小値)を考えます。つまりxで微分して、これを0と置く。
∂S(x)/∂x = 8((5/4)^x)ln(5/4)-20
より
8((5/4)^x)ln(5/4)-20 = 0
ですから
x=ln(ln(5/4)/2)/ln(4/5)+1
これはもう電卓で計算しちゃうと、
x=10.828
ってわけで、この前後、つまりn=11かn=10っきゃないと分かります。
あとは電卓で、S(10)とS(11)のどっちが小さいか調べれば良い。
S(10)=-133.49
S(11)=-134.87
ってわけで、S(11)の勝ち。(<勝ち?)


  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 34% (8/23)

基本的には1の方と答えは一緒ですが、厳密にはS(n)をnで微分してS'(n)=0となるnについてS''(n)の値が正であるか負であるかを考察する必要があります。S''(n)>0となるとき、そのnは極小値を取ります。 その極小値nが最小であるか否かは、nの左側と右側とで、それぞれ単調減少、単調増加しているかを別途調べる必要がありますが、それについては ...続きを読む
基本的には1の方と答えは一緒ですが、厳密にはS(n)をnで微分してS'(n)=0となるnについてS''(n)の値が正であるか負であるかを考察する必要があります。S''(n)>0となるとき、そのnは極小値を取ります。
その極小値nが最小であるか否かは、nの左側と右側とで、それぞれ単調減少、単調増加しているかを別途調べる必要がありますが、それについてはまあいいでしょう。


以上、蛇足でした。
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